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1、拓扑学测试题一一、选择题(每小题2分，共10分)下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是()A.列紧 B.序列紧 C.可数紧D.紧致下列拓扑性质中，没有遗传性的是()a. T空间 b. T空间 c. t3空间d. T空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是()A. T空间 b. T空间c. T3空间D.气空间设X多于两点，t 1,T2是X的两个拓扑，则下列命题不成立的是()(A) 1 5 2是X的某个拓扑的基；(B) 2是x的一个拓扑；(C) 1 5 2是X的一个拓扑；(D) 疽2是X的某个拓扑的基。设A为度量空间(x,d)的任一非空子集，则下列命题不成立的是()(A) 尤为A的边界点当且仅当 d
2、3, A) = d 3 x - A) = 0(B) 尤为A的聚点当且仅当 d 3, A) = 0(C) 尤为A的内点当且仅当 d 3 x - A) 0 ；(D) x e A当且仅当 d (x, A) = 0二、二、判断题(每小题5分，共25分)三、仿紧空间是度量空间()四、商映射一定是闭映射或开映射.()五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间.()六、连通空间一定是局部连通空间.（）七、若/ : S 一四连续，则丑eR 1,使fT（t）不可数.（）八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.十、设X = 0，1，2），试写出X上的所有
3、拓扑.十一、四、证明题（每小题10分，共40分）十二、若X满足T公理，则x中任一子集的导集都是闭集.十三、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、证明至少有两个点的T空间的连通子集一定是不可数集.4十五、证明x为Hausdorff空间当且仅当 = （无工）|工 X是X x X的闭集.答案一、选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二、是非题 1、x 2、x 3、。4、x 5、/三、解答题1.举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解例如 X = 0,1）,气=。,0, X ， 0=1.2.设X =0，1，2）,试写出X上的所有拓扑.解2个开集的共有1个：小，0,1,2, 3个开集
4、的共有6个：中,0,0,1,2,1,0,1,2,2,0,1,2,中，1,2,0,1,2,3,0,1,0,1,2,小，0,2,0,1,24个开集的共有9个：,0,0,1,0,1,2 ,0,0,2,0,1,2,（小，1,1,2,0,1,2,（，1,0,1,0,1,2,（小，2,0,2,0,1,2,，2,1,2,0,1,2,小，0,1,0,1,0,1,2 , ，0,2,0,2,0,1,2小，1,2,1,2,0,1,25个开集的共有6个：小，0,0,2,0,1,0,1,2, 小，1,1,2,0,1,0,1,2,小，2,1,2,0,2,0,1,2中,1,2,1,2,0,1,2,0,1,0,1,0,1,2
5、小，0,2,0,2,0,1,26个开集的有6个：小，0,1,0,2,0,1,0,1,2,小，0,1,1,2,0,1, 0,1,2, 小，1,2,1,2,0,2,0,1,2,中，1,2,1,2,0,1,0,1,2,小，0,2,0,1,0,2,0,1,2,小，0,2,1,2,0,2, 0,1,28 个开集的有 1 个：小，0,1,2,1,2,0,2,0,1,0,1,2 因此共有1+6+9+6+6+1=29个拓扑四、证明题1.若X满足T1公理，则X中任一子集的导集都是闭集. 证明 设A u X，只要验证3）是开集.sc（A，则x有开邻域u,使得Gh）nA=0,由气公理知，U邳 是开集，从而U 狎u（
6、A），于是U u（A）c ；所以*是（A）的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X是从R2除去可数个点后所得到的空间,Vx, y e X，若x。y，设L是线段xy的中垂线，设z el，用(x,y,z)表示连接x,y,z的 折线，由于这样的折线有不可数多条，而X的余集y是可数集，所 以至少有一条折线(x, y, z)不含y中的点，这表明X是道路连通的.3. 证明至少有两个点的匕空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X是至少有两个点的连通的T空间y的子集，设x,y是x中 的两个不同点，令A = x,B = y，则A和B是子空间X中的两个非 空不相交的闭集，故由乌里松引理知
7、，存在连续函数f : X T 0,1使得， f(x) = 0, f (y) = 1，又因x是连通的，故f(X)是0,1中的连通集，而 0,1 e f (X)，因此f (X) = 0,1，于是X 一定是不可数集.4. 证明X为Hausdorff空间当且仅当 = (x,x)lxeX是xxX的闭 集.证明(必要性)要证为闭集，只要证它的余集是开集。(x,y)e&,(x,y)为内点.由(x,y)e&知，x丰 y，因 x 为 Hausdorff 空间 知，存在x开邻域U， y的开邻域V，使得 U c V = 0, 于是 (x, y) e U x V dc 所以(x,y)为内点，这就证明了 为闭集.(充分性)对 Vx, y ek, x 主 y 由的定义知， (x, y) ek 即由为闭集 知， c为开集，于是存在开集U,V使得 (x, y) e U x Vi ，由 U x V。 知，U,V为x,y的不相交的邻域，这表明X为Hausdorff空间.
