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1、平面向量基本定理与三角形四心已知是内的一点，的面积分别为，求证：如图2延长与边相交于点则图1 图2 推论是内的一点，且，则有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的内心是的外心是的垂心 证明：如图为三角形的垂心，同理得，奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。l 与“重心”有关的向量问题1
2、 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )A重点B外心C内心D垂心如图.M 图图 2已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的( ).A重点B外心C内心D垂心【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.3 .O是ABC所在平面内一点，动点P满足（0，+），则动点P的轨迹一定通过ABC的（）A内心B重心C外心D垂心解：作出如图的图形ADBC，由于sinB=sinC=AD，=由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过ABC的重心故选：Bl 与“垂心”有关的向量问题3 是所在平面上一点，若，则是的( )A重点B
3、外心C内心D垂心【解析】由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图4已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的( )A重点B外心C内心D垂心【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.5若为所在平面内一点，且则点是的( )A重点B外心C内心D垂心BCHA图6证明: 得即 同理， 故H是ABC的垂心l 与“内心”有关的向量问题6已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的( )A重点B外心C内心D垂心图图【解析】，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从
4、而是的内心，如图.7已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，则动点的轨迹一定通过的( )A重点B外心C内心D垂心【解析】由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.8若O在ABC所在的平面内：=，则O是ABC的（）A垂心B重心C内心D外心解：向量的模等于1，因而向量是单位向量向量、和等都是单位向量由向量、为邻边构成的四边形是菱形，可得AO在BAC的平分线上同理可得OB平分ABC，OA平分ACB，O是ABC的内心故选：Cl 与“外心”有关的向量问题8已知是所在平面上一点，若，则是的( )A重点B外心C内心D垂心图图【解析】若，则，则是的外心，
5、如图。9 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的( )。A重点B外心C内心D垂心【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图l 四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设的外心为，则点为的垂心的充要条件是。2.三角形外心与重心的向量关系及应用设的外心为，则点为的重心的充要条件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设的外心、重心、垂心分别为、，则、三点共线（、三点连线称为欧拉线），且。相关题目10设ABC外心为O，重心为G取点H，使求证：（1）H是ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2【解答】证明：（1）ABC外心为O，又则=0即AHBC同理BHAC，CHAB即H是ABC的垂心；（2）G为ABC的重心=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2
