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1、浅谈怎样运用极限和导数求解曲线的切线方程 陈艳艳摘要：本文在中学生所掌握的微积分的初步知识的基础上，以割线的极限位置来定义切线，并给出了相应的求解切线方程的方法，扩充了传统初等数学的学习方法，对切线这一解析几何中的重要内容作了较系统的分析。关键词：割线的极限位置 斜率函数 导数 切线方程极限和导数，这两个数学分析中的重要概念，不仅在高等数学中发挥着重要的作用，更成为高中数学学习的重要工具，对高中学生已掌握的微积分初步知识上，极限和导数把传统初等数学学习方法加以扩充，使之有着比传统解法更巧妙的方法，甚至是传统解法不能解决的方法。本文所讨论的就是极限和导数在平面解析几何中的一个运用如何运用极限和导
2、数求解曲线C的切线方程。一、 切线的定义：首先，我们给出切线的定义：定义1：通过曲线C上两点M、N的割线，当点M不动，点N沿着曲线C运动并趋近于点M时，割线MN的极限位置的直线MT叫做曲线C的在点M的切线。 同中学课本中所定义的切线比较发现，定义1强调了切线是割线的极限位置，这就是从最本质的地方认识了切线。中学课本中的定义仅仅局限于圆、椭圆等二次曲线，而定义1是针对所有曲线定义的，中学课本中的定义只是定义1的一个特殊情况。二、 斜率函数的定义及其求解方法：设曲线C的方程为y=f（x），则曲线上一点（x0，y0）的切线方程就是yy0=k（xx0），其中k是切线的斜率，是待定的。怎样来求切线的斜率
3、呢？据切线的定义，设曲线上一点M的坐标为（x0，y0），在点M的附近取曲线上另一点N。设点N横坐标为x，纵坐标为y=f（x），于是割线MN的斜率是： 当点N（x，y）沿曲线无限接近于点M（x0，y0），即xx0，yy0时，我们就有。表示为： ，这样过曲线y=f（x）上点M的切线的斜率就求得了。 定义2：在曲线y=f（x）上点P（x1，f（x1）处，曲线的斜率（即该点切线的斜率）是，其中，。点（x2，f（x2）为曲线y=f（x）上任意一点。例1：对于抛物线f：y=x2x2和点P（2，4），试求抛物线f在点P处的切线的斜率。解： 根据切线的斜率的定义，应该再任意找一点Q（x0，y0），以求出x和y
4、。由于x=x02，所以不妨就设x0=2x。由于Q同样在f上，那么 即 由于要求，那么我们在式左右两边分别除以x有： 取极限便有： =3+0=3 故抛物线f在点P处的切线的斜率是3。 在前面的推导中，不一定要用点P的数值坐标，我们可设点P是曲线f上的一点，其坐标记为（x0，y0），另一点Q的坐标是。因为P，Q都在f：y=x2x2上。所以有： =2x01由于P（x0，y0）的任意性，那么我们可以把零下标去掉，改写为k=2x1，k就是f在任意点（x，y）处的斜率函数。在导数定义中，如果令y=f(xh)f(x)，x=h，这里导数的定义就与斜率的定义是等价的。y=f（x）的导数 就是曲线y=f（x）在点
5、（x，y）处的斜率函数。定义3：对于曲线C，若曲线方程y=f（x）在其定义域内可导，则曲线C在其上任一点（x，y）处的斜率函数便是。例2： 对于抛物线f：y=x2x2和点P（2，4），试求抛物线f在点P处的切线的斜率。 解：f（x）= y=x2x2 = 而 故抛物线f在点P处的切线的斜率是3。 三、 曲线的切线方程的求解方法：定义4：设P（x1，f（x1）是曲线y=f（x）上的任一点，如果一条直线的方程可以写成：，则称这条直线为曲线y=f（x）在点P处的切线。根据定义4，我们得出一个求解曲线y=f（x）在某点（x1，y1）处的切线方程的步骤：、求出切线的斜率函数；、将x1代入，算出；、应用点斜
6、式，写出切线方程y=（xx1）y1上述方法可以算出曲线y=f（x）在某点处的切线方程，这里曲线C的方程是由显函数的形式给出来的。对于曲线C的方程由隐函数、参数方程、极坐标方程等形式给出时，可以将这些形式转化成显函数的形式，再计算切线方程。但对于参数方程形式给出的，也可以用以下方法求解：设曲线C的方程为，要求它在点t=t0处的切线方程的方法如下：由切线的斜率函数为，由，所以 那么曲线C在点t=t0处的切线的斜率便为，那么在点t=t0处的切线方程为： 例3：求曲线在点（0，0）和点（1，1）处的切线方程。 解： 当x=0时，=0， 即k=0那么切线方程为 y=0当x=1时， =3， 即k=3那么切
7、线方程为 y1=3（x1） y=3x2 例4：求曲线在处的切线方程。 解：解法一： 由， 那么时，y=0 ，x=1 这就转化成求在点（1，0）处的切线方程。 由x=1 那么=4 所以切线方程为：y0=4（x1） y=4x+4 解法二： 所以切线方程为： y=4x+4 从例3、例4中，应用极限和导数求解曲线的切线方程，比起以前的方法就简捷得多。并且，像例3这种例子，用以前的方法是解不出来的，这充分说明导数法是对初等解法的一个有效的补充。四、 对两个常见观点的辨析：通过平面解析几何的学习，大多数中学生有这样的观点：1、与曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线；2、切线与直线只有一个公共点即切点。上述
8、两观点对圆、椭圆的确成立，但对所有的曲线都是这么回事吗？这里，我们就通过刚才所讨论的知识对两观点进行验证。对于观点1，我们举例加以说明：例5： 对于抛物线，它在原点（0，0）处与x轴、y轴都有且只有一个交点，试问：x轴、y轴所在的直线都是在（0，0）处的切线吗？ 解：我们可以利用切线的定义加以分析。如图所示：由于在原点的切线是割线ON由N向O运动后的极限位置，当N逐渐由N运动到N1，N2直到趋近于O时，割线ON，ON1，ON2就越来越“平坦”，也就是越来越趋近于x轴，逐步的在偏离y轴。由此我们可以断言，y轴肯定不是在（0，0）处的切线，经验算，x轴才是在（0，0）处的切线。 结论：通过上面的例
9、子，说明了与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，观点1是错误的，只有当曲线是封闭的二次曲线时，观点1才成立。对于观点2，同样，我们先看一个例子: 例6： 由在点（1，1）处的切线方程为y=3x2，试求出 与 y=3x2的交点。 解： 得 x1=1， x2=2那么有 y1=1， y2=8即与 y=3x2的交于两点：（1，1）、（2，8），其中（1，1）是与 y=3x2的切点。 结论：直线与曲线相切，不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，能够保证直线与曲线相切有且只有一个公共点。五、 微积分对中学数学的指导意义： 在高三数学课本中，涉猎了微积分的初步知识，虽然这只是选学内容，但笔者认为
10、这一章是不可忽略的，应该让学生掌握并很好的掌握这部分知识，为他们以后的学习打下一定的基础，也对他们掌握较系统的数学知识、全面实施素质教育会有很大的帮助。 例如，在求解函数的单调性、函数的最值问题以及本文所讨论的切线方程等问题时，通过微积分的学习，就可以运用微积分知识来解决上述问题，这往往会比传统初等解法要简捷、巧妙得多。通过微积分知识的学习，广大中学生便能从多角度、较高层次、较深入的认识数学，扩充了他们学习数学的方法，增强了他们学习数学的兴趣，也提高了他们的数学修养。一举几得，何乐而不为呢？参考文献：1 蔡上鹤：高三数学“导数”章教学问答。中学数学教学参考，2002年第11期；2 T赫伯格、JD布里斯托尔：初等数学分析，测绘出版社，北京数学会科普委员会译；3 傅沛仁、王景林：初等微积分，黑龙江人民出版社。
