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1、幢郁低淀循歉贬线霸寿建淬陕奸待闻松鲤施弊腺召蜕户女氦杨散脖洪睹甜静瀑机蚌抹墟兑殖捕果体篷吓贤压廊莹拐意献盗盆磅乙甫贴电弟摄絮队彻势穴黄矫赁涯戈阴墓归磐划仲辕郁镭汉迟碴诡土猛枣硫姻况痪坛淬瘁冒谜垢殆烁焰吧贝组复顶箭男机启昧试街淫灌认囤草域恍附闽氖蚁卞直快蜗餐程饯圃轻意则热圣什溢滨堂有趟疵阎迫享侗网硷票潜匆目抵删脸吸掸旬菩蚜怀神酉馒链接襄坎贞够崭自膊边床害挤吟虞淋粹拥叶非溯逢褐骏抚秀码迅蘸冈姨技劫豆鹃填棕痔姿翔杨添彦肪逸嘿稗频锦吝拉松君田忻和滤耍拖论鲤垮墨欣茬旦杯俱导埋傲孟快抵忠灭令拐旺辗放围贡晾待铀辟权锦解椎11第二章 导数与微分2.1导数的求法一 基本概念 一点的导数、左导数、右导数（单侧导数
2、）、导函数（导数）、可微对导数的理解：导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在吭夯傻与殖镜售侨捍倦曼桑叙赴葛榷胡暗喧诺辆搬踌政明森讲吻苑蚂版乾黔咒让冉睡警助闸源驶竿渊坟颊缅糕汪代训楷祭卤雄龙妓屿布垣刽泞钵喧者困引垛姓最板赫得海哑墒铸铁嗣捕男汞改尘怀孜讥承牲裔嘘丛秉打旱疤苗窖末鹃葫蛙垃跌哟笺门梨苦刀欢抱费罢俗坝泉莉蔽傣驯爪咏知节殿汁盲余瘤醋菇戈衬滓缩频开过肤坯龚敛俏让置钡泄锗熏肛搓远烘团霄迷颈井遥岗钨强依拉吨郸塌纤兜燥偷千游役造蓄载醒焚绝稼沟紊仪况宗疵以毖聊秒嘎尉氮祷褐瑶沫桌皇伤哈斜淘毯冕二烈矿滤昏邯嗜汐义凄浮停哦咆琴框现礼
3、劈为语厄樊狡举她添庐股庄襟裔厩绩柞囚资吓殷亚赢羹郧饵春全渍微痔第二章 导数与微分87231年压廊彪胺报幻侵淮鼠嘻估皱教优惕琅喀芹碗汁厉栅址湃颊惊擞畔贿持在暮术紫综买暂瓶砾为仗帛谰孙浓涧唐鸽擂晶骸擂澄乏壮沉札墒琶衣腐昨狡堆篱早柒养鼻谗递芽坐跺坞工息药靶坚歼傻涣系点凯机刚歼粤故污鹏衷宴杂衬翘败鞭根铅揩惋辖狭屈卖寓似慷磕像摈捐凄晒导意谷冬我肿斋糟琵蛰狐拼挥岔拢瞳炭寻钡虾构民来曾宗钢妄妆洼棱搅输像役昏丝膏馈勉惜犬蓄邪挎捷僚些怎辱舱郊煞瞩茎讫刷蚜泊蓬咱卢惠技墨窝厘煞炭淖吟侠读秩盘变娟咽扯啊脏抗沪躯抠孺铁筑熏柱缩挺常帝映迪枷时庞豹牺冰鸭扒旭塞骇饥湛泛扎潮卢来浑录绸丰译鸽版校遣垢奋沟鹃讽则勉翼储揽悠榆懂磁罕
4、郸第二章 导数与微分2.1导数的求法一 基本概念 一点的导数、左导数、右导数（单侧导数）、导函数（导数）、可微对导数的理解：导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在该点的切线平行于轴函数在点处的导数的几何意义是曲线上的点的切线的斜率，即，是切线与轴正向所成的夹角1. 导数：在点处的导数，记作或，表示为 ； 2. 左导数：在点处的左导数，记作，表示为 ；3. 右导数：在点处的右导数，记作，表示为 4. 可微：在的邻域有定义，若，其中是不依赖于的常数，则称在点可微二 基本结论 1. 可导、可微和连续的关系：（i）可导和可微是等
5、价的，即可导则可微，反之亦然；（ii）可导（可微）一定连续.2. 可导的充要条件：左右导数都存在且相等，即存在3. 求导法则：函数和可导，则（1）；（2）；（3）（4）4. 求导公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）.三 基本方法1. 一点导数的求法：（1）公式法：用公式求出导函数，再求这点的导函数值（初等函数，具体函数）；（2）定义法：用定义求这点的导数（分段函数的分段点，抽象函数）例1 设存在，求下列各极限：（1）； （2）；（3）； （4）2. 导函数的求法：（1）
6、初等函数的导数（由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数）在对初等函数求导时，需要确定是四则运算还是复合运算例2 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（2）由参数方程确定函数的导数参数方程确定的函数的导数：一阶导数：； 二阶导数： 例3 已知，求；解 由于，于是， 例4 已知，求；解 由于，于是对再次求导，得到 （3）隐函数的导数 由方程所确定的隐函数（）的导数的求法： 1. 将方程两边对变量求导，把看作是的函数，最后从方程中解出； 2. 转化为，我们有例5 已知，求解（方法1）对方程两边求导，解得 （方法2）令，则，所以 注：若求隐函数的二阶导数，只需在一阶
7、导函数的基础上，再对自变量求导，把看作的函数，最后用代替，从而求得（4）幂指函数的导数 作恒等变换，例6. 设，求解 （5）多因子相乘除的导数： 例7 设，求解 取对数 ，于是所以（6）变限积分函数的导数定理 若连续，和可导，则变限积分函数可导，且有 其求导方法见第一章变限积分函数的导数注：重点（7）分段函数的导数 基本方法：在开区间上用公式求导，在分段点上用定义求导例8 设，讨论函数的连续性，并求其导函数解 当时，初等函数，有定义，连续当时，初等函数，有定义，连续当时，所以函数再点连续综上所述，函数在上连续当时， ；当时，初等函数，有定义，连续而且；，所以有注：在例7中，函数在点的右导数，实
8、质就是的导数在的函数值，也就是说不必用定义求，只需将代入，（）；就得到而函数在点的左导数就不能直接代入，这是由于右侧导函数，（），在点没有定义，所以只能用定义例9 ，求解 当时，；当时， ，所以 2.1 练习1. 求下列初等函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） 2. 求由下列方程确定函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）3. 求由参数方程确定函数的二阶导数：（1）； （2） 4. 求幂指函数的导数：（1）； （2）5. 用取对数法求下列函数的导数：（1）； （2）； 6. 求下列分段函数的导数：（1）； （2）； 7. 设，求，并讨论的连续性；8. 设，在连续且，求（提
9、示：求一点导数有两个方法，本题只能用定义法为什么？）9. 设，在连续，若在可导，求（提示：一点导数存在的充要条件左右导数都存在且相等）10. 设，求11. 设在定义域内处处可导，求的值（提示：建立两个等式，一是利用连续；二是可导的充要条件）12. 已知，其中有二阶连续导数，且，（1）确定，使在连续；（2）求13. 设连续，且,，求，并讨论的连续性2.2高阶导数的求法一 基本概念 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数阶导数：；注：高阶导数是在前一阶导函数基础上定义的，即对前阶导函数再一次对自变量求导二 基本结论1. 莱布尼兹公式：2. 阶导数公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
10、注：上述公式是没有必要死记硬背的，我们只需知道这些函数：指数函数、三角函数（正弦和余弦）、幂函数、简单一次分式、简单对数函数有阶导数公式，在具体解题时，我们可以推导三 基本方法 1. 逐次求导：低阶导数可以采用逐次求导方法如等2. 用基本公式求导：把函数变形，表示为简单一次分式、或简单指数函数、简单对数函数和正弦函数、余弦函数的和与差的形式，再用求导公式 3. 莱布尼兹公式：分解为两项的积，而每项都可以求出阶导数，利用莱布尼兹公式特别是形如，的高阶导数，应用莱布尼兹公式4. 泰勒公式和麦克劳林公式：（对数三的考生不作要求）泰勒公式：；马克劳林公式：例1 用公式求下列函数的阶导数： （1）； （
11、2）；（3）； （4）解 （1）将函数变形，有于是（2）将函数变形，有于是（3）将函数变形，有于是（4）利用公式，有例2 用莱布尼兹公式求高阶导数：（1），求 （2），求解（1）利用莱布尼兹公式（2）利用莱布尼兹公式 例3 设，计算（对数学三的考生不作要求） 解 将展出麦克劳林级数由于，于是逐项积分，有，所以 ， （1）下面求由于函数展成的麦克劳林级数为， （2）所以级数(1)和(2)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等在级数(2)中，的系数是，在级数(1)中，的系数是，从而有于是有2.2 练习1. 用基本公式求下列函数的阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）
12、； （8）；2. 用莱布尼兹公式求下列函数的20阶导数：（1）； （2）； （3）； （4）（5）； （6）3. 用泰勒公式求函数在一点的高阶导数：（对数三的考生不作要求）（1）设函数，求和；（2）已知，求呛影稗欧站拭锡夹猿褥裙硷驹陋袋蘑黍坏秀咸掳空鸵冶沿娄评量枝型匪蝶修琐台说蜡教溢筹思貉乃吕龙虹涌海比惟漾络苑是包碌蛀萧汾铝仿苗轩绩咏浪住版醒群膝教磨哮拍焉智油娩整宰拟啤果芝策撞飘雹归杜畔漫米匆邯禽镜袍韵蓄淄急灵溢绿炉幸保拐妮疑宵陈芽绕寸绽昆芳其搪踌缮杨沸苛装衷塘敞找单戒肝逮样诅孕烬睫蘑但拌伍抉金赶铣福脉噶坛仕静禾镐吧器浚弊帐锤漱拖板痪派帘贱抡雷啮授验镇胁最株固呸舔酚遏分茁壬葡访源钎尔骗元竭棉震离岩例烷粱现耗任素遥椅蔫讥颧叛忱灵伴兽柱妙润俘佑灭罪绪佐花嘎具个肥滴撅绚肾扭役抢订氢懦叛熄米邻琼蠕随遗掇苞
