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1、.数学几何动点问题课程解读一、学习目标：了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性知识梳理几何动态问题是指：在图形中，当*一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按*一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和
2、方法，明确图形之间的在联系几何动态问题关心“不变量，所表达的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好方法典型例题知识点一：动点问题例1.如下图，在直角梯形ABCD中，CDAB，A90，AB28cm，DC24cm，AD4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停顿运动时，另一个动点也随之停顿运动则四边形ANMD
3、的面积ycm2与两动点运动的时间ts的函数图象大致是思路分析：1题意分析：此题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等解答过程：D解题后的思考：此题中有两个动点，在允许的围*一时刻四边形ANMD是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象直线FE交AB的延长线于G过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M、N设HM*，矩形AMHN的面积为y1求y与*之间的函数关系式；2当*为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？思路分析：1题意分析：此题通过点H的运动变化，综合考察四边形、线段的比、二次函数等知识2解题思路：解答此题的关键是用含*
4、的式子表示出AM，而AMABBM4BMBM又可看作是BG与MG的差，运用CEF和BEG的关系可求出BE和BG的长，运用MHG和BEG的关系可表示出MG1求SABC；2证明不管a取任何实数，BOP的面积是一个常数；3要使得ABC和ABP的面积相等，数a的值思路分析：1题意分析：此题中动点P的位置没有给出来，根据点P的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y轴平行，在y轴的右侧，到y轴的距离是1点P的位置随a的变化而在直线*1上运动2解题思路：1因为ABC为等腰直角三角形，所以只要求出AB即可又因为A、B两点是直线与*轴、y轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA、OB的长可求，在RtOAB中，利用
5、勾股定理可求得AB2求BOP的面积可以以OB为底，点P到y轴的距离为高底边OB不变，高为点P的横坐标1，所以SBOP为常数3注意满足条件的点P可能在第四象限，也可能在第一象限解题后的思考：求ABC的面积实质是求它的两条直角边长，此题的1和2问比拟容易，3问难度稍微大一些，应注意分情况讨论小结：解答动点问题要“以静制动，即把动态问题变为静态问题来解一般方法是抓住变化中的“不变量，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个根本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解知识点二：动线问题例4.小
6、明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中如下图，直径AB弦CD于E，设AE*，BEy，他用含*、y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比拟运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数*、y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式_思路分析：1题意分析：关于*、y的不等式是通过比拟运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系得出的，解此题的关键是找出AB与CD的*种数量关系解题后的思考：在这个问题中，弦CD是变化的，直径AB即*y是不变的，弦CD无论怎样变化都不会超过直径，正是根据这一点确定了此题的不等关系式例5.如图，平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、
7、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d1观察图形，猜测得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论2现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论思路分析：1题意分析：此题是线动平移问题，问题的结论具有开放性，需要学生有一定的类比能力和绘图能力2解题思路：解答此题时可以从特殊位置开场，比方当直线l过点A时，找出a、b、c、d之间的关系式，再把它进展推广解答过程：1acbd证明：如图所示，连结AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，2OO1DD1BB1bd；同理：2OO1AA1CC1acacbd2不一定成立分别有以下
8、情况：直线l过A点时，cbd；如图所示，直线l过A点与B点之间时，cabd；直线l过B点时，cad；直线l过B点与D点之间时，acbd；直线l过D点时，acb；直线l过C点与D点之间时，acbd；直线l过C点时，abd；直线l过C点上方时，acbd解题后的思考：在此题中，直线l做上下平移运动，直线l的位置变化引起a、b、c、d的变化，不变的是它们所在图形的中位线重叠，通过这一不变性找出a、b、c、d之间的关系式小结：线动问题的根本特征是：在一个运动变化过程中，*些直线或线段保持一种位置关系不变，如垂直、平行，而一些线段的长度发生变化这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相似形等知识建立线段
9、之间的数量关系，从而解决问题知识点三：图形运动问题例6.如下图，A、B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开场时圆心距AB4cm，现A、B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，A运动的时间为_秒思路分析：1题意分析：这两个圆是等圆，只能形成外切，但应注意外切有两种状态2解题思路：相切的两种情况是：点A在点B左边时，这两个圆各移动了1cm，解题后的思考：此题有两种解题策略：确定两圆相切时A和B的移动距离，再求运动时间；设A运动t秒时，两圆相切点A和点B重合以前，A和B相切一次，此时AB42t2t44t；点A和点B重合以后，A和B相切一次，此时AB2t2t44t4两圆相切
10、时AB2，即44t2例7.如图所示，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGHA、E、C、G始终在同一条直线上，当点E与C重合时停顿移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积1S与S相等吗？请说明理由2设AE*，写出S和*之间的函数关系式，并求出*取何值时S有最大值，最大值是多少？3如图所示，连结BE，当AE为何值时，ABE是等腰三角形思路分析：1题意分析：此题的运动过程比拟简单，矩形EFGH沿AC平移，考察的知识点有：矩形、平移、函数、
11、等腰三角形等2解题思路：1S与S的关系可通过矩形EFGH中各三角形面积的和差关系确定；2在EPC和CGM中用含*的式子表示出PC和CM，SPCCM，注意AECG可由平移的性质得出；3注意ABE是等腰三角形可能有多种情况解答过程：1相等理由是：四边形ABCD、EFGH是矩形，SEGHSEGF，SESECP，SCGQSCGM，SEGHSECPSCGMSEGFSESCGQ，即：SS解题后的思考：函数是刻画图形运动问题的最正确数学模型，解决这类问题时，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，防止找不准图形运动过程中的关键图形而导致出错小结：图形运动问题一般与图形变换结合，图形在运动过程中只是位置发
12、生变化，大小、形状一般不变所以解答这类问题往往可运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等知识提分技巧解答几何动态问题大致可分为三步：1审清题意，明确研究对象2明确运动过程，抓住关键时刻的动点，如起点，终点3将运动元素看作静止元素，运用数学知识解决问题同步练习答题时间：60分钟一、选择题1. 如下图，在ABC中，ABAC2，BAC20动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ100，设BP*，CQy，则y与*之间的函数关系用图象大致可以表示为 2. 如图，ABC和DEF是等腰直角三角形，CF90，AB2、DE4点B与点D重合，点A，BD，E在同一条直线上，将ABC沿AE方向平移，至点
13、A与点E重合时停顿设点B、D之间的距离为*，ABC与DEF重叠局部的面积为y，则以下能准确反映y与*之间对应关系的图象是二、填空题3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM1，N为对角线AC上任意一点，则DNMN的最小值为_*4. 锐角ABC中，BC6，SABC12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为*，正方形MPQN与ABC公共局部的面积为yy0，当*_时，公共局部面积y最大，y最大值_三、解答题*5. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE12cm，形如三角板的ABC中，ACB90，ABC30，BC12cm半圆O以2c
14、m/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上设运动时间为ts，当t0s时，半圆O在ABC的左侧，OC8cm1当t为何值时，ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？2当ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠局部，求重叠局部的面积*6、如图1，在矩形ABCD中，AB20cm，BC4cm，点P从点A开场沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从点C开场沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停顿运动设运动时间为ts1t为何值时，四边形APQD为矩形？2如图2，如果P和Q的半径都是2 cm，则t为何值时，P和Q外切？*7、如图所示，矩形ABCD中，AB12cm，BC24cm，直线PQ从AB出发，以1cm/s的速度向CD做匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q；点M从点C出发，沿CDABC方向逆时针运动，点M与P、Q同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ都停顿运动图是点M运动路线长ycm与运动时间ts的函数关系图象1点M
