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1、 1 16个解答题综合仿真练(二)1已知向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，.(1)若ab，求t的值；(2)若t1，且ab1，求tan的值解：(1)因为向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，且ab，所以cos sin ，tsin2. 由cos sin ，得(cos sin )2，即12sin cos ，从而2sin cos .所以(cos sin )212sin cos . 因为，所以cos sin . 所以sin ，从而tsin2. (2)因为t1，且ab1，所以4sin cos sin21，即4sin cos cos2.因为，所以cos 0，从而tan .
2、所以tan 2. 从而tan.2.如图，四棱锥PABCD中，PDPC，底面ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点求证：(1)AM平面PBC；(2)CDPA.证明：(1)在直角梯形ABCD中，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点，故ABCM，且ABCM，所以四边形ABCM是平行四边形，所以AMBC.又BC平面PBC，AM平面PBC，所以AM平面PBC.(2)连结PM，因为PDPC，点M是CD的中点，所以CDPM，又ABBC，所以平行四边形ABCM是矩形，所以CDAM，又PM平面PAM，AM平面PAM，PMMAM，所以CD平面PAM.又PA平面PAM，所以CDPA.
3、3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值解：(1)由已知得c1，又e，则a，b2a2c21，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设直线PQ的方程为yk(x)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，所以x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2k2，又A(，0)，所以kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1) x2k(x2) x12kx1x2(k)(x1x2)，故
4、kAPkAQ1，所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA3 km，OB3 km，AOB90.当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且MON30.(1)若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积解：(1)在OAB中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB60.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos A7，所以OM，所以cosAOM，在OAN中，sinON
5、Asin(AAON)sin(AOM90)cosAOM.在OMN中，由，得MN.(2)法一：设AMx,0x3.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos Ax23x9，所以OM，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON)sin(AOM90)cosAOM.由，得ON.所以SOMNOMONsinMON，0x3.令6xt，则x6t,3t6，则SOMN.当且仅当t，即t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为.所以M的位置为距离A点63 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2.法二：设AOM，0，在OAM中，由，得OM.在OAN中，由，得ON.所以SOMNOM
6、ONsinMON，0.当26090，即15时，SOMN的最小值为.所以应设计AOM15，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2.5已知数列ai共有m(m3)项，该数列前i项和为Si，记ri2SiSm(im，iN*). (1)当m10时，若数列ai的通项公式为ai2i1，求数列ri的通项公式；(2)若数列ri的通项公式为ri2i(im，iN*)，求数列ai的通项公式；数列ai中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由解：(1)因为Siii22i, 所以由题意得ri2SiS102i24i120(i10，iN*). (2)因为ri2SiSm2i，ri12
7、Si1Sm2i1，两式相减得ai12i1，所以数列ai从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即ai2i2(2im，iN*)又2a12Sm，即a12(a2a3am)22m11.所以数列ai的通项公式为ai数列ai中任意三项都不能构成等差数列，理由如下： 因为数列ai从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为ap，aq，ar(2pqrm，p，q，rN*)，则有2aqapar，即22q22p22r2,2qp112rp.因为qp1N*，rpN*，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解所以数列ai从第2项至第m项中不可能存在三项构成等差数列， 所以若数列ai中存在
8、三项构成等差数列，则只能是a1和第2项至第m项中的两项，不妨设为ap，aq(2pqm，pN*，qN*)因为0apaqam2m1，所以该情况下也无解因此，数列ai中任意三项都不能构成等差数列6设函数f(x)2aln x(1a)x2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求b的值；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间；(3)若存在x1使得f(x)0，1.当0，即a0时，x(0,1时，f(x)0，f(x)单调递减；x1，)时，f(x)0，f(x)单调递增当01，即0a时，x时，f(x)0，f(x)单调递增；x时，f(x)0，f(x)单调递减；x1，)时，f(x)0，f
9、(x)单调递增当1，即a时，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0,1，单调递增区间为1，)；当0a时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，1，)；当a时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间. (3)若a，由(2)知f(x)在1，)上单调递增，所以存在x1使得f(x)成立的充要条件为f(1)，即a1，解得1a1. 若a1，则1，故当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增所以存在x1使得f(x)成立的充要条件为f，所以不符合题意若a1，因为存在x1，即f(1)a1成立所以a1适合题意综上，a的取值范围是(1，1)(1，)
