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1、新教材适用高中必修数学3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率1理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3掌握过两点的直线的斜率公式(重点)基础初探教材整理1直线的倾斜角阅读教材P82P83“思考”以上部分，完成下列问题1倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0180.3确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角如图311所示，直线l的倾斜角为()图311
2、A30B60C120D以上都不对【解析】根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为3090120.【答案】C教材整理2直线的斜率及斜率公式阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题1斜率的定义一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率3斜率意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()(3)一个倾
3、斜角不能确定一条直线()(4)斜率公式与两点的顺序无关()【解析】(1)错误除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度(2)错误倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应(3)正确确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.(4)正确斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型直线的倾斜角已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角(0180)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？【精彩点拨】【自主解答】由题意画出如下草图由图可知：当为钝角时，倾斜角为90，当为锐角时，倾斜角为90，当为直
4、角时，倾斜角为0.综上，直线l转动前的倾斜角为1解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论再练一题1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135【解析】根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为451801
5、35.故选D.【答案】D直线的斜率已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围【精彩点拨】(1)利用k及ktan 求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围【自主解答】(1)由斜率公式得kAB0，kBC.kAC.倾斜角的取值范围是0180.又tan 00，AB的倾斜角为0.tan 60，BC的倾斜角为60.tan 30，AC的倾斜角为30.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上
6、，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.1由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决2由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解3涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解再练一题2已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解】如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角
7、是135，所以的取值范围是45135.探究共研型斜率公式的应用探究1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？【提示】斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.探究2你能证明A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？【提示】能因为A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)，所以kAB2，kBC2，所以kABkBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A，B，C这三点在同一条直线上已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值【精彩点拨】的最大值和最小值可以看做过两点(2
8、，3)和(x，y)的直线的斜率的最大值和最小值【自主解答】由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1,1)，B(1,5)则kPA，kPB8.k8，的最大值为8，最小值为.斜率公式的应用1证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)2求代数式最值或范围：由斜率公式k的形式，可知的几何意义是过P(x，y)与P(a，b)两点的直线的斜率故可以利用数形结合来求解再练一题3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值【解】如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(
9、x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.1斜率不存在的直线一定是()A过原点的直线B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线D垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90，斜率不存在【答案】B2若过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y等于()AB.C1D1【解析】kABtan 451，即1，y1.【答案】C3如图312中能表示直线l的倾斜角的是_图312【解析】结合直线l的倾斜角的定义可知可以【答案】4如图313所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_图313【解析】设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k3k2.【答案】k1k3k25已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值【解】由题意可知kAB2，kAC，kAD，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.版权所有：高考资源网()
