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1、实验三 z 变换及分析、 DTFT 实验实验目的1)学会运用MATLAB2)学会运用MATLAB3)学会运用MATLAB4)学会运用MATLAB求离散时间信号的 z 变换和 z 反变换；分析离散时间系统 的系统函数的零极点；分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；进行离散时间系统的频率特性分析。二、实验原理及实例分析2.1 z 正反变换序列x (n ) 的 z 变换定义为1)2)X(z)= Ztx(n)= x(n)z-n=g其中，符号 Z 表示取 z 变换， z 是复变量。相应地， 单边 z 变换 定义为X(z)= Ztx(n)= x(n)z-nn=0MATLAB 符号数学工具箱提供了计算
2、离散时间信号单边 z 变换的函数 ztrans 和 z 反变换函数 iztrans ，其语句格式分别为Z=ztrans(x)x=iztrans(z)上式中的x和Z分别为时域表达式和 z域表达式的符号表示，可通过sym:函数来定义。【实例 1】 试用 ztrans 函数求下列函数的 z 变换。(1) x(n) = an cos(兀n)u(n)；2) x(n) =2n-1 -(-2)n-1u(n)。解:( 1 ) z 变换 MATLAB 源程序为 x=sym(aAn*cos(pi*n); Z=ztrans(x);simplify(Z)ans=z/(z+a)( 2)z 变换 MATLAB 源程序为x
3、=sym(2人(n-l)-(-2)人(n-1);Z=ztrans(x);simplify(Z)ans=zA2/(z-2)/(z+2)实例 2】 试用 iztrans 函数求下列函 数的 z 反变换。1)8 z -192)z(2z2 - llz +12)(z -1)( z - 2)3解：(1) z反变换MATLAB源程序为Z=sym(8*z-19)/(zA2-5*z+6); x=iztrans(Z);simplify(x)ans=-19/6*charfcn0(n)+5*3A(n-1)+3*2A(n-1)其中，charfcn0(n)是5 (n)函数在MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函 数
4、形式为19x(n) = -5 (n) + (5 x 3n-1 + 3 x 2n-1)u(n)。6( 2) z 反变换 MATLAB 源程序为 Z=sym(z*(2*zA2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)A3); x=iztrans(Z);simplify(x)ans=-3+3*2An-1/4*2An*n-1/4*2An*nA2其函数形式为 x(n) = (3 + 3 x 2n n2n n2 2n )u(n)。44如果信号的z域表示式X(z)是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设X(z)的有理分式表示为3)、 b + b z-1
5、 + b z -2 +A + b z-m B(z) X (z)二 0 12m 二1 + a z -i + a z-2 +A + a z -n A(z)12nMATLAB信号处理工具箱提供了一个对X (z)进行部分分式展开的函数 residuez，其语句格式为R,P,K=residuez(B,A)其中， B， A 分别表示 X(z) 的分子与分母多项式的系数向量； R 为部分分式 的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若 X(z)为有理真分式，则 K为 零。【实例3】试用MATLAB命令对函数X(z)=进行部分18+3z-1 -4z-2 - z-3分式展开，并求出其 z 反变换。解： MA
6、TLAB 源程序为B=18;A=18,3,-4,-1;R,P,K=residuez(B,A)R=0.36000.24000.4000P=0.5000-0.3333-0.3333K=从运行结果可知，P2二P3，表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为X (z)二0.36 +0.24+0.41 - 0.5 z -11 + 0.3333 z -1 ( 1 + 0.3333z -1)2因此，其 z 反变换为x(n)二0.36 x (0.5)n + 0.24 x (-0.3333)n + 0.4(n +1)(-0.3333)n u(n)2.2 系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义
7、为系统零状态响应的 z 变换与激励的 z 变换之 比，即如果系统函数 H(z) 的有理函数表示式为b z m + b z m-i + A + b z + bH (Z)二 12m m+1( 5 )a z n + a z n -i + A + a z + ai2nn +i那么，在 MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数 roots 得到，也可借助 函数 tf2zp 得到， tf2zp 的语句格式为Z,P,K=tf2zp(B,A)其中， B 与 A 分别表示 H(z) 的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将 H(z) 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即2-6)( z - z )( z
8、 - z )A ( z - z )12m(z-p)(z-p )A(z-p )1 2 n实例 4】 已知一离散因果 LTI 系统的系统函数为z 2 + z + 0.16试用MATLAB命令求该系统的零极点。 解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=1,0.32; A=1,1,0.16;Z,P,K=tf2zp(B,A) Z=-0.3200P=-0.8000-0.2000K= 1 因此，零点为z二0.32，极点为p = 0.8与p = 0.2。12若要获得系统函数 H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为zplane(B,A)其中， B 与 A 分别表示
9、H(z) 的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是 在 Z 平面上画出单位圆、零点与极点。【实例 5】已知一离散因果 LTI 系统的系统函数为z2 - 0.36z2 -1.52z + 0.68试用 MATLAB 命令绘出该系统的零极点分布图。解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;zplane(B,A),grid onlegend( 零点 , 极点 )title( 零极点分布图 )程序运行结果如图 1 所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是 稳定的。2.3 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连
10、续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数 h(n) 与 z 域函数 H(z) 之间的对应关系 。因此， z 变换的函数 H(z) 从形式可以 反映h(n)的部分内在性质。我们仍旧通过讨论H (z)的一阶极点情况，来说明系 统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。【实例 6】 试用 MATLAB 命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h（n）的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影 响。z（1）H （2）zH (z) : c1z - 0.82z + 0.8z(3)H -zz(4)H (z)z(5)H (z):3z2 -1.2z + 0.724z-15z
11、2 -1.6 z +1z(6)H (s) Z(7)H (z)z6z - 1.27z2 - 2z +1.36解： MATLAB 源程序为b1=1,0;a1=1,-0.8;subplot(121)zplane(b1,a1)title( 极点在单位圆内的正实数 )subplot(122)impz(b1,a1,30);grid on;figureb2=1,0;a2=1,0.8;subplot(121)zplane(b2,a2)title( 极点在单位圆内的负实数 )subplot(122)impz(b2,a2,30);grid on;figureb3=1,0;a3=1,-1.2,0.72;subplo
12、t(121)zplane(b3,a3)title( 极点在单位圆内的共轭复数 )subplot(122)impz(b3,a3,30);grid on;figureb4=1,0;a4=1,-1;subplot(121)zplane(b4,a4)title( 极点在单位圆上为实数 1)subplot(122)impz(b4,a4);grid on;figureb5=1,0;a5=1,-1.6,1;subplot(121)zplane(b5,a5)title( 极点在单位圆上的共轭复数 )subplot(122)impz(b5,a5,30);grid on;figureb6=1,0;a6=1,-1.
13、2;subplot(121)zplane(b6,a6)title( 极点在单位圆外的正实数 )subplot(122)impz(b6,a6,30);grid on;figureb7=1,0;a7=1,-2,1.36;subplot(121)zplane(b7,a7)title(极点在单位圆外的共轭复数)subplot(122)impz(b7,a7,30);grid on;程序运行结果分别如图2-2的(a)、(b)、(c)、( d)、( e)、(f )、( g)所示。砥疔幷羊士可为打正卖數(a)(b)L:_I-0.七Ed -mu吕E-L:_I-0.七md -mu吕E-5_-!.七 md-seeuu-(c)O5 O 5 I 0 Ukr| Ak匚亍匸(d)(e)1321 F3E2 Iijii_a 510162025n (samples)
