《因式分解的应用和差化积思想专题培优拔高奥数复习讲义设计无答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解的应用和差化积思想专题培优拔高奥数复习讲义设计无答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解的应用一一和差化积思想专题培优、拔高(奥数)复习讲义一、中考考点梳理因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1复杂的数值计算；2代数式的化简与求值；3简单的不定方程(组)；4代数等式的证明等中学阶段常用到的因式分解的几种形式：1. ab _a _b 仁(a _1)(b _1)；2. ab 士a 1 = (a 1)(b 士 1)；3. a3 b3 c3 -3abc = (a b c)(a2 b2 c2 -ab -bc-ac).4 2 24. x 4=(x 2x 2)(x -2x 2);4225. 4x 1 =(2x 2x - 1)(2x -2x 1);
2、二、典型例题精选【例1】a, b, c是正整数，ab,且a2 - ab - ac be = 7，则ac等于().A. - 1B . - 1 或7C . 1D.1 或 7解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具.求代数式的值的基本方法有；(1) 代入字母的值求值；(2) 代入字母间的关系求值；(3) 整体代入求值.的值为2a b2 2【例2】已知ab = 0 , a ab -2b二0，那么解题思路：对已知等式通过因式分解变形
3、，寻求a, b之间的关系，代入关系求值.【例3】计算：(1) 19973円9972 -19951997 +1997 -1998(241)(44 )(64 J(84 J(104 J444444141414141(14-)(34-)(54-)(74-)(94-)44444解题思路：直接计算,则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思A路；对于(2)，可以先研究(x4-)的规律.4【例4】求下列方程的整数解.(1) 6xy 4x 9y 7 = 0;(2) 2x2 5xy 2y2 = 2019解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方
4、程组的特点，利用整数解 这个特殊条件，从分解因式入手.解不定方程的常用方法有：(1) 穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法.用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识【例5】已知a b = 3, ab = 2，求下列各式的值：2 2 2 2 1 1(1) a b ab ;(2) a b ;(3)22 -a b解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数 b的立方，则称自然数 a为完全立方数，如27= 33, 27就是一个完 全立方数.若 a = 19951993 X 199519953 19951994 X 199519
5、923,求证：a 是一个完全立方数.解题思路：用字母表示数，将 a分解为完全立方式的形式即可.三、课后过关自测小练习1.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a , b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 .2244332 .已知 x+y=3,x +y xy=4，贝U x +y +xy+xy 的值为23.方程x xy5x+5y-1 =0的整数解是 24.如果x -(m+1)x+1是完全平方式，那么 m的值为5.已知 2x2 -3xy y2 = 0( xy = 0)，则的值是() y xA- 2，22C. 212D.
6、2,2124332246. 当 x_y=1, x _xy _xy_3xy 3xy y 的值为()A. 1B. 0C. 27.已知 abc,2 2 2 2 2 2M =abbc ca, N=ab bc ca，贝y m 与 N 的大小关玄阜系疋A. M v NB. M NC . M = ND .不能确定& n为某一自然数，代入代数式3n-n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是A. 388944B. 388945C. 388954D. 3889489. 计算:3322223111123322223111113 331999 -1000 -9991999 1000 99910.
7、 一个自然数a恰好等于另一个自然数 b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64= 82, 64就是一个完全 平方数，若 a = 19982+ 19982 X 19992 + 19992，求证：a是一个完全平方数.11.已知四个实数 a , b , c , d，且a = b , c = d，若四个关系式 a2 a 4,b2 b 4 , c2a 8 ,d2 ad =8，同时成立.(1)求a c的值； (2)分别求a , b , c , d的值.四、能力提升拓展练习1. 已知n是正整数，且n4-16 n2+100是质数，那么n.2 2 22. 已知三个质数 m, n, p的乘积等于这三个质数的和的5
8、倍，贝U m +n + p =3.已知正数 a , b , c满足 ab+ a+b =bc+b+c = ac + c + a =3，贝U (a+1)(b+1)(c + 1) =.2xy ,4在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如 对于多项式x4 -y4，因式分解的结果是( y)(x y)(x2 y2)，若取x = 9, y = 9时，则各个因式的值是(x -y) =0,( x y) =18,( x2 y2) =162，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3 -取x = 10, y = 10时，用上述方法产生的密码
9、是： .(写出一个即可).5.已知a , b , c是一个三角形的三边，则a4 b4 c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值().A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负4 326若 x是自然数，设 y =x 2x 2x 2x 1，则().A. y 一定是完全平方数B 存在有限个x，使y是完全平方数C. y 一定不是完全平方数D 存在无限多个x，使y是完全平方数2 27方程2x -3xy-2x =98的正整数解有（） 组.A.3B. 2C. 1D. 0&方程xy 2 x +|y =4的整数解有（） 组.A.2B. 4C. 6D. 89.设N = 695+ 5X 694 + 10X693 +
10、10X 692 + 5X 69 + 1.试问有多少个正整数是N的因数?10 当我们看到下面这个数学算式33373 133750时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因37 2437 24 61为我们知道a3 b3 a b c3 d3 cd但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式:33 133 133 23 3 253 235253 33 一 5 373337 37343 一 74103 7310 7103 33 10 3你能发现以上等式的规律吗?11. 按下面规则扩充新数：已有a，b两数，可按规则 ab a b扩充一个新数，而以 a，b，c三个数中任取两数，按规则又可 扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4,求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.2 212.设k , a , b为正整数.k被a ,b整除所得的商分别为 m , m，16.(1) 若a , b互质，证明a2-b2与a2,b2互质；(2) 当a , b互质时求k的值；(3) 若a , b的最大公约数为5,求k的值.
