《正弦定理、余弦定理的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理、余弦定理的应用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例谈正弦定理、余弦定理的应用正弦定理与余弦定理作为解三角形的基本工具，在测量、机械设计、航海和 物理学等方面有着广泛的应用.例1已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km,从三点 分别遥望塔M,在A处见塔在东北方向，在点 B处见塔在正东方向，在点 C处见塔在南偏东600处，求塔到直路ABC的最短距离.解 由条件知/ CMB=30o, /AMB=45o,设/CBM 则/ ABM=兀- a.在ACBM和AABM中，由正弦定理得MC _1 MAsina = sin30o 科 sin（n-a） = sin45o 消去 sina得 MC = &MA.在AAMC中，由余弦定理得4=MC2+M
2、A22MC MAcos75o=3MA2272MA2cos75,所以MA2=3- 2V2cos75 ,设M到直线ABC的最小距离为h, h即为AAMC的AC边上的高，则面积关系得11oS型mc= 2 AC - h = 2 MC MA sin75 .一 工4sin75o7+5 . 3 八、从上式可以求得塔与路的最短距离h = 2. 3-2J2cos75o =13 (km),点评 本题解答的关键在于用正弦定理求出 MA与MC的关系，进而在确定MA的大小.例2渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120o角的方向行驶，水的流速 为4km/h,求渡轮实际行驶的速度（精确到 0.1km/h）和方向（精确到
3、1）.解 如图，AB表示水流速度，AD表示渡轮行驶速度,以AD, AB为邻边作平行四边形 ABCD,则AC就是渡轮实际速度.在平行四边形 ABCD中，CD = AB=4,BC = AD = 15, /BAD = 120o, / B = 60o,所以AC2 = AB2+ BC2-2AB - BC cos60o=42+ 152-2x4x15x1=181,所以AC= 13.45= 13.5 (km/h).=0.2576./ 八 AB sinB4sin60osin/ACB= Ac = 13.45因为所以所以ACAB,/ACB = 14056 ./BAC = 180 (/B+/ACB) =1054 =1
4、05.答 渡轮实际行驶的速度约为13.5km/h,实际行驶方向与水流方向约成105.点评：根据平行四边形法则作图，从而构造数学模型，集中了实际问题中的 条件与目标，将实际问题转化为求解三角形问题.先由余弦定理确定AC的长,再用正弦定理求出/ ACB,最后过渡到/ BAC.例3海岛B上有一座海拔1000m的山，山顶A处设有观察站，上午11时 测得一轮船在海岛北60东处，俯角30; 11时10分又测得该轮船在海岛北60西处，俯角60,问：(1)此船的速度是多少km/h? (2)如果船的航向和速度 不变，它何时到达岛的正西方？东解：如图，AB= 1000km, / BAC =60, /BAD =3在
5、 RtABD 中，解得 BC= J3km.BD= =km,在 BDC中，/ DBC= 120,根据余弦定理得1,3939 1CD=km,所以，船速 v=* = 2*；39(km/h).336(2)设船沿CD从D处经时间t后到达岛的正西方E处，在 BDC中，由正弦定sin/ CED = sin( / BDC-300)=1理得 sin/BDC=, cos/ BDC= 5吧, 2.392、39.在ABDE中，据正弦定理得DE=等km,所以t=_l(h),即船于11时15分到达岛的正西方.运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形.如果知道两边和夹角，则可先由余弦定理求出角的对边， 再由正弦定理求出 另外两个角.如果已知两边及其中一边的对角，则先由正弦定理求出另一条边的 对角，再求三角形的内角和为 1800求出第三个角，最后用正弦定理可以求出第 三条边(当然也可用余弦定理求解，但正弦定理更为直接).上述求解过程说明，求解三角形，一定要注意已知什么？由已知可以求得什 么？目标是什么？要求出目标值需要知道什么？搞清楚这些问题后，就可以确定求解的“序” 了.另外，在运用正弦定理、余弦定理的同时，还应该结合面积关系灵活选择解 决途径.如果建立适当的直角坐标系，与解析法有机结合，或运用向量的有关性 质，可能带来更为简便的求解方案，应予重视.
