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1、aarcsin,x(L1)1a求导二2arcsin+2xx1aa(-)=2arcsin2x2xX2a2a二arcsin,(xa兀arcsin,arcsin1=)R2a则sinP二一，cosxx2-a2,tanB=x2-a2由引理知卩L已知:球0的半径为R,A、B是球0上的两定点且A、B间直线距离为|AB|=2a（0aR）,00是过A、B的平面截球面的任意一个圆半径为x（axR）,OoiA、B对应的劣弧长为aaL=2xarcsin,00是过A、B的大圆，0o上A、B对应的劣弧长为L=R2arcsin（即：球面1xR距离）求证：LL兀证明：引理:sin,tan,（0,）（用单位圆、三角形面积公式及
2、不等式）证略.证明:（1）当a=R时.过A、B的平面截球面的任意一个圆均为大圆，所以L1=L=兀R当0aR时考察0oi的半径满足axR时，在0。上设A、B对应的圆心角为aa,=2arcsin（2arcsin,2arcsin1二兀），所以L二,x=2xxR1第-#-页共2页第-#-页共2页a所以(L)求导0,则=,x=2xarcsin在aL第-#-页共2页评注：由以上证明可知以AB为直径的大圆对应的劣弧最小。另证：如图,pABl=2R=AmNsinl=2偌兰PAnNsinp欲证l，l，AmBAnBABABpsinsinp需证忑sinP即证故只需证y=沁为减函数x由于xcosx一sinxy=x2xg(0,)，又当xg(0,)时，tanxxnxcosx,sinxsinx所以y0，故函数y=为减函数。从而命题得证。x第-#-页共2页
