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1、2005年 第44卷 第8期 数学通报 47-48对“习题引申”的两点补充贺 斌（湖北省谷城县第三高级中学 441700）31 引申应尽力揭示问题的实质文1分析认为，将题目“已知，求函数的最小值”引申为“求函数的最小值”，为灵活运用基本不等式提供了一个很好的范例。笔者赞同文1的观点，但笔者认为，文1若能将其打算进一步组织学生探讨的问题（问题的提出不能由教师包办，必须使学生经历一个反思、讨论、修改的过程）：“如何利用基本不等式求函数的最小值”改为：“如何利用基本不等式求函数及的最小值”，则会显得更为本质简明。这是因为：（1）形式“”能够更好地揭示此类题目的结构，而形式“”容易误导人们认为它是根式
2、结构。（2）在引导学生由“”到“”再到“”的过程中，学生必然会经历一个反思、交流、探讨、修改的过程，这本身就是一个加深理解，触及实质的过程。而由“”到“”再到“”，极易造成思维表面化、肤浅化，并最终被“形式”所迷惑。以下给出用基本不等式求最小值的主要步骤： .如果学生对的获取过程及上述步骤有实质性理解,那么当他们面对如下函数的最小值问题时就不会被“形式”所迷惑：2 反思解题过程也是引申习题的一条重要途径针对文2的欠缺，有必要指出：反思解题过程也是构建新知、引申习题的一条重要途径，而且这一途径有时对相关知识的揭示更加深刻到位。以下举两例说明之例1已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，
3、求证它的对角线互相垂直。此为高中数学新教材第二册（上）复习参考题七B组第2题。下面给出此题的向量证法：设四边形为ABCD，则.稍作反思便可发现，以上推理步步可逆（于是可将上述推理中的“”改为“”），并且推理过程根本没有用到“(平面)四边形”这一条件，甚至连四个点能否构成四边形都无关紧要。于是，我们从反思例1的证明过程中引申出一个极具实用价值的一般性结论：定理1 设A，B，C，D是空间四点（可以共面，也可以不共面，共面时也可以出现三点共线的情况），则ACBD（可能是共面垂直，也可能是异面垂直）例2 P为ABC内任一点，求证：此为2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛第16题。下面给出有别于“标答
4、”的证明：因为 将以上三式展开相加，整理即得欲证等式。反思证明过程可以发现，整个证明过程根本没有用到P在ABC内这一条件，P不仅可以不在ABC内（但仍与ABC共面），而且可以不在ABC所在的平面上。不仅如此，仔细研读证明还可发现，我们甚至连ABC这一条件也未用到。这样，我们又从反思证明过程中引申出一个重要结论，它非常和谐地将散见于一些文献中的结论统一起来：定理2 设A，B，C，D是空间四点（可以共线（一维）、共面（二维）、也可以不共面（三维），则数学是一门需要深入理解的学问。对习题作出有意义的引申，永远离不开我们的独立思考和执着追求。参考文献1 马林.一个并非“干扰”“主干”知识传授的引申.数学通报,2004,72 刘健.谈变式教学中习题引申应注意的几个问题.数学通报,2003,1
