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1、1 . a,b是两个不相等的正数,高中数学竞赛集训训练题且满足a3 b3 a2 b2,求所有可能的整数 c,使彳导c 9ab.1-i i2.已知不等式n 1 n 2的最大值，并证明你的结论。1n31 a 一 对一切正整数 a均成立，求正整数a3n 1 243.设an为a 4的单调递增数列,22J0两足 an 1 an 16 8(an 1 an ) 2an 1an , 求 an 的通项公式。24. (1)设 x 0, y 0,求证：x x y(2)设 x 0, y 0,z 0,求证:xyyz zx5.设数列112 12 31,2,1 ,3,2,11 _2_k ,k 1问：(1)这个数列第2010
2、项的值是多少;(2)在这个数列中，第 2010个值为1的项的序号是多少6 .设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个 袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。a7 .已知数列an满足a a (a 0,且a 1),刖n项和为Sn,且Sn (1 an),1 a记bn anlg |an | ( n N ),当a 立时,问是否存在正整数 m ,使得对于任意正整数 3n ,都有bn bm ?如果存在，求出 m的值；如果不存在，说明理由.uuur umr8 .在 ABC 中，已 ABgAC 9,sinB cosAsinC ,又 A
3、BC 的面积等于 6.(I )求 ABC的三边之长；(n)设 P是 ABC (含边界)内一点，P到三边 AB BC AB的距离为d1、d2和d3,求di d2 d3的取值范围.9 .在数列an中，ai, a2是给定的非零整数，an 2 an 1 an(1 )右 a15 2 , a161 ,求 a2008 ；(2)证明：从 an中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.210 .已知椭圆 三 y2 1(a 1), Rt ABC以A (0, 1)为直角顶点，边 AB、BC与椭圆 a交于两点 B Co若 ABC面积的最大值为 27 ,求a的值。811.如图，椭圆C： E 1(a b 0), A、
4、A2、Bi、B2为椭圆C的顶点. a2 b2(I)设点M(x0,0),若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的顶点时，|PM |取得最大值与最小值，求X0的取值范围;(n)若椭圆c上的点P到焦点距离的最大值为 3,最小值为1,且与直线l : y kx m相交于A, B两点(A B不是椭圆的左右顶点)，并满足AA2定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.BA2 .试研究：直线l是否过12.如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是边长为a的正方形，侧面 SAD为正三角形，且垂直于底面 ABCD .(1)求四棱锥S ABCD的体积；(2)在边CD上是否存在一点 E ,使得SB13.(
5、本小题满分15分)关于 x、y 的方程 C ： x2 y2 2x4y m 0.(1)若方程C表示圆，求实数 m的取值范围；(2)在方程 C表示圆时，若该圆与直线l ： x 2y4 0相交于M、N两点，且4 5| MN |，求实数m的值； 5(3)在(2)的条件下，若定点A的坐标为(1, 的斜率的取值范围.0),点P是线段MN上的动点，求直线APx2y24 ” 2514 .已知椭圆C： 3 。1 (a b 0),其离心率为4,两准线之间的距离为 二。a b52(1)求a,b之值；(2)设点A坐标为(6, 0), B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角ABP (字母A, B, P按顺时针方
6、向排列)，求P点的轨迹方程。15 .如图，正三棱柱 ABC ABCi中，E是AC中点.(I )求证：ABi平面BECi ； ()若AB 2,AA 五,求点A到平面BE。的距离;一C的正弦值为而0?5(出)当 AA为何值时，二面角 E BCC116 .(本小题满分15分)在xoy平面上有一系列点 P1(X1，yJ P2(X2，y2)，R(xn,yn), 对每个正整数n,点Pn位于函数y x2(x 0)的图象上.以点 Pn为圆心的。Pn与X轴都相切，且。Pn与。Pn 1彼此外切.若X 1,且xn 1 xn ( n(1)求证：数列2是等差数列； xn(2)设O Pn的面积为Sn, Tn 蕊庭r3、.
7、求证：对任意n N ,均有Tn .217 .(本小题满分18分)二次函数f(x) px2 qx r中，实数p、q、r满足 p q L=0,其中m 0 .m 2 m 1 m求证：pf (m-)0; (2)方程f(x) 0在(0, 1)内恒有解.m 118 .如图，斜三棱柱 ABC AB1cl的所有棱长均为侧面 B1C1CB 底面 ABC ,且 AC1 BC .(1) 求异面直线 AA1与B1C1间的距离；(2)求侧面A1 B1 BA与底面ABC所成二面角的度数.19 .设向量i, j为直角坐标平面内 x轴，y轴正方向上的单位向量. 若向量a (x 2)i yj, rb (x 2) i y j,且
8、 a b(1)求满足上述条件的点 P(x, y)的轨迹方程；(2)设A( 1,0), F (2,0),问是否存在常数(0),使得 PFA PAF恒成立？证明你的结论.20.已知抛物线 y 两点。211 1111B、C2x2 x 和A(,)。过F(,-)任作直线，交抛物线于84 84 8求 A B C重心的轨迹方程，并表示成y f (x)形式;1n k 3数列Xk中，0X1一，且满足Xk1f (Xk) O试证：Xk1 一2k 1521.椭圆C:2 X2 a2y，, 一* 八，彳=1 ( ab0 )的两个焦点为 b2-c , 0 ), M是椭圆上一点,且满足F1MF2 M = 0。( I )求离心
9、率 e的取值范围;(n)设斜率为 k ( k w 0 )的直线l与椭圆C相于不同的两点 A B, Q为AB的中点，问A B两点能否关于过点P 0,3的直线对称？若能，求出 k的范围，若不能，请说明理由。22.已知定义在 R上的函数f (x)同时满足：2，(1)f (XiX2)f(XiX2)2f (Xi)cos2x24asinX2(x1,x2R,a为常数)；f(x) 2，即a 26,所以a 25.12 243 解：a21 a2 168(an 1 an) 2an 冏2(an 1 an ) 8(an 1 an) 164an冏an 1 an 4 2jan自(由题意可知取正号。)4an 1 an2(an
10、 1 an4)因此，卮公差为2的等差数列，即ja2n 。2从而可得an 4n2224证明：(1)约上3 0,，上_x y 44(x y)x y3o 2x 3x xy(2)由(1)得-.x y 43c 23c 2类似的A盘一z, J Mx,y z 4 z x 4333-2-2八2, x y z 3x xy 3 y yz 3z3x yzx222、3(xyz )xyyzzx43(xyyzzx)xyyzzx4xy yz zx2112 12 312 k5解(1)将数列分组：(1),(-,2),(-,-,3),(-, , ,-),1 2 13 2 1k k 11因为 1+2+3+-+62=1953; 1+2+3+-+63=2016,所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为57 0 10 分7(2)由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1,所
