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1、全国研究生研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题，每题分,满分15分.把答案填在题中横线上.）()=_.【答案】【考点】洛必达法则【难易度】【详解】解析:措施一:措施二：使用洛必达法则计算.(2)设函数由方程所拟定,则曲线在点处的法线方程为_【答案】【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难易度】【详解】解析:在等式两边对x求导,得将代入上式,得故所求法线方程为即2y+=.（3） _【答案】【考点】定积分的换元法【难易度】【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间,运用被积函数的奇偶性可以简化计算.在区间上,是奇函数,是偶函数,故（4） 过点且满足关系式的曲线方程为_【答案】
2、【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析:措施一：原方程可改写为两边直接积分,得又由解得故所求曲线方程为：措施二:将原方程写成一阶线性方程的原则形式解得又由解得故曲线方程为：（5） 设方程有无穷多种解,则a_.【答案】【考点】非齐次线性方程组解的鉴定【难易度】【详解】解析：措施一：运用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有可见,只有当a =2 时才有秩相应方程组有无穷多种解措施二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的 一定使系数行列式为零,即有解得或.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检查显然,当时,原方程无解,因此只能是.二、选择题（本题共5小题,每题3分,满分1
3、5分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目规定,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1）设则等于（ )(A)0（B）1(C）(D）【答案】B【考点】复合函数【难易度】【详解】本题波及到的重要知识点:复合函数中,内层函数的值域是涉及于外层函数的定义域。解析:由题易知,因此，选.（2)设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于( ）()1（B)2（C）3.（D）4.【答案】B【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】解析：由题易知: （3）曲线的拐点个数为（)(A)0.（B)1.(C）2.(D）.【答案】C【考点】函数图形的拐点【难易度】【详解】解析:由得,或,带入，故有两个拐点.
4、（)已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且,则( )（A)在和内均有()在和内均有.（)在内,，在内，（D)在内,，在内,.【答案】A【考点】函数单调性的鉴别【难易度】【详解】解析：令，则，由于在区间上，严格单调减少，因此当时,单调递增，；当时，单调递减,；故在和内均有，即.(5）设函数在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数的图形为( ）【答案】D【考点】函数单调性的鉴别【难易度】【详解】解析：由图可知有两个极值点，横坐标分别记作,故在且仅在这两处的值为,故选。其中，当时，先增后减再增，故先正再负再正,进一步排除.三、(本题满分6分）求【考点】不定积分的第二类换元法【难易度】【
5、详解】解析：设则 原式四、(本题满分7分)求极限，记此极限为,求函数的间断点并指出其类型.【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】【详解】解析:由此体现式知x=0及xp(k1,2，)都是f(）的间断点.由于,因此x=是（x）的可去(或第一类)间断点;而xkp(1,2,）均为第二类（或无穷）间断点.五、（本题满分7分）设是抛物线上任一点处的曲率半径,是该抛物线上介于点与之间的弧长,计算的值(在直角坐标系下曲率公式为【考点】曲率半径、定积分的几何应用平面曲线的弧长、由参数方程所拟定的函数的导数【难易度】【详解】解析:抛物线在点处的曲率半径抛物线上的弧长故因此六、（本题满分7分)设函数在上可
6、导,，且其反函数为若求.【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题波及到的重要知识点：解析：等式两边对x求导得：，又由于是的反函数，故,因此有又由于在处持续，由得故.七、（本题满分7分）设函数,满足，且，求【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】【详解】解析：由于,因此其相应的齐次微分方程为特性方程为，因此齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为，则代入微分方程得，因此非齐次微分方程的通解为,又，,得，故求积分: .八、(本题满分9分）设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，且通过
7、点(）试求曲线的方程;()求位于第一象限部分的一条切线,使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值【难易度】【详解】解析：()设曲线过点的切线方程为，令,得切线在轴上的截距.由题设知 ，令,则此方程可化为分离变量得积分得,即 代入条件得，于是得的方程, 即.（2)曲线L在点处的切线方程为 即.它在x轴与y轴上的截距分别为与所围面积令.得在内的唯一驻点,易知是最小值点由此,所求切线为,即九、（本题满分7分）一种半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为的雪堆在开始融化的3小时
8、内,融化了其体积的，问雪堆所有融化需要多少小时?【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念【难易度】【详解】解析:设雪堆在时刻的体积,侧面积,雪堆半径.由题设知，因此有即积分得.又由,有，于是.又由,即,得，从而令得雪堆所有融化所需时间为小时.十、(本题满分分)设在区间上具有二阶持续导数,，(1)写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(）证明在上至少存在一点,使【考点】泰勒中值定理、介值定理【难易度】【详解】解析:(1）对任意，其中在0与之间（2） 令,则在具有三阶持续导数,其二阶麦克劳林展开式为因此又由于介于和之间，由介值定理知存在，使得,则有.十一、(本题满分分)已知矩阵,且矩阵满足，其中是3阶单位阵,求.【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念【难易度】【详解】解析:由题设的关系式得即由于行列式因此矩阵可逆，因此故十二、（本题满分6分）已知是线性方程组的一种基本解系,若,，讨论实数满足什么关系时，也是的一种基本解系.【考点】齐次线性方程组的基本解系【难易度】【详解】由于均为的线性组合，因此均为的解.下面证明线性无关.设,即,由于线性无关，因此其系数全为零，即其系数行列式可见，当,即时，上述方程组只有零解,因此向量组线性无关，又因的基本解系是4个向量,故也是的一种基本解系
