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1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题 :1。 (2 08 全国卷理 )已知三棱柱得侧棱与底面边长都相等,在底面内得射影为得中心,则与底面所成角得正弦值等于(C)A.?B、 ?D。1。解 :C. 由题意知三棱锥为正四面体 ,设棱长为 ,则 ,棱柱得高 (即点到底面得距离 ),故与底面所成角得正弦值为。另解 :设为空间向量得一组基底,得两两间得夹角为长度均为 ,平面得法向量为,则与底面所成角得正弦值为、二、填空题 :1。(2 08 全国卷理 )等边三角形与正方形有一公共边,二面角得余弦值为,分别就是得中点,则所成角得余弦值等于.1、答案 :、设 ,作,则 ,为二面角得平面角,结合等边三角形与正方形
2、可知此四棱锥为正四棱锥,则,故所成角得余弦值另解 :以为坐标原点 ,建立如图所示得直角坐标系,则点 ,则AN (3, 1,2),EM(1 ,3 ,2), AN EM1, AN EM2222222故所成角得余弦值、三、解答题 :1.(2008 安徽文 )如图 ,在四棱锥中 ,底面四边长为 1 得 菱形 , , ,为得中点。 ( )求异面直线 AB 与 MD 所成角得大小 ;( )求点 B 到平面 OCD 得距离。、方法一 (综合法 )(1)为异面直线与所成得角( 或其补角 )?作连接?,所以 与所成角得大小为(2)点 A 与点 B 到平面 OD 得距离相等 ,B连接 OP,过点 A 作 于点 Q
3、,又 ,线段 AQ 得长就就是点到平面OCD 得距离B1 题图 (1)3 ,1 题图 (2)OMAODCMQADPC OPOD 2DP 2OA2AD 2DP 24 1 13 2,22,所以点 B 到平面 OCD 得距离为方法二 (向量法 )作于点 P,如图 ,分别以 AB,AP, O 所在直线为轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1),z222O(1) 设与所成得角为 ,M与所成角得大小为( )设平面 OCD 得法向量为 ,则即AD取 ,解得P, xCy设点 B 到平面 C得距离为 ,则为在向量上
4、得投影得绝对值B, .所以点 B 到平面 OCD 得距离为、 ( 008 安徽理 )如图 ,在四棱锥中 ,底面四边长为1 得菱形 , , ,为得中点 ,为得中点。()证明 :直线 ;( )求异面直线AB 与 MD 所成角得大小;( )求点 B 到平面 OCD 得距离、方法一 (综合法 )O(1)取 OB 中点 E,连接 E,N又?(2)M为异面直线与所成得角( 或其补角 )?作连接,AODBNMCE?所以 与所成角得大小为Q?(3)点 A 与点到平面OCD 得距离相等 ,连接 O ,过点作AD于点 Q,P又 ,线段 Q 得长就就是点A 到平面 OCD 得距离NBC OPOD 2DP 2OA2A
5、D 2DP 24113 2,22?,所以点 B 到平面 D 得距离为方法二 (向量法 )作于点 P,如图 ,分别以 AB,A ,O 所在直线为轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0), P(0, 2 ,0), D (2 , 2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1), N (12 ,2 ,0),22244() MN(12 ,2 , 1),OP(0,2 ,2), OD(2 ,2 ,2)44222设平面 OC得法向量为,则即取 ,解得( )设与所成得角为, 与所成角得大小为(3) 设点 B 到平面 C得交流为 ,则为在向量上得投影得绝对值由 , 得、所以点 B 到平面 OCD
6、 得距离为3.(00北京文 )如图 ,在三棱锥 P-BC 中,A=B= ,C =90 ,AP=BP=A ,PCAC 、( )求证 :C AB;x( )求二面角 AP -C 得大小 .3、解法一 :( )取 AB 中点 D ,连结 D ,CD .AP =P,PAB 、AC BC、D B.PCD =.B平面 CD 、C 平面 PC,PC AB、( ) C=C,AP P, A PC 、又 C,P C、又 ACB 9 ,即 C C,且 APC=C,AB =P,BP.EC 就是 BE 在平面 PC 内得射影 ,CE P. BEC 就是二面角 B-AP-C 得平面角、在 BC中 ,BCE= 0,C= ,B
7、E=,sin BEC二面角 B AP C 得大小为 ares n解法二 :( ) AC,AP=BP, APC BPC。又 PC A.PC BC、AC B=C,PC 平面 AC、AB 平面 C,PAB 、( )如图 ,以 C 为原点建立空间直角坐标系Cxy。则 C( ,0,0),A(0,2,0),B(2, ,0).设 P(0,0, t),|PB| | = ,t=2,( ,0,2)、z O M,ADBNC Py取P 中点 ,连结 B,E。 |AC=|P ,|AB |BP ,CE AP,BE P. BE就是二面角BA-C 得平面角。 (0,1,1), cos BE =二面角 AP-C 得大小为 rc
8、 os 4、 (2008 北京理 )如图 ,在三棱锥中 ,、( )求证 :;( )求二面角得大小;( )求点到平面得距离.4、解法一 :( )取中点 ,连结。,.,、,平面。平面 ,.( ),.又,.又,即 ,且 ,平面 .取中点。连结 .,、就是在平面内得射影,、就是二面角得平面角。在中 ,、二面角得大小为、( )由 ( )知平面 ,平面平面。过作 ,垂足为、平面平面 ,平面。得长即为点到平面得距离.由( )知,又 ,且 ,平面。平面 ,.在中 ,.。点到平面得距离为。解法二 :( ),。又,PDABCPEABCPHDABC.,平面。平面 ,.( )如图 ,以为原点建立空间直角坐标系。则、设.,、取中点 ,连结 .,.就是二面角得平面角.,.二面角得大小为.( ),zPEHyxABC在平面内得射影为正得中心,且得长为点到平面得距离.如( )建立空间直角坐标系.,点得坐标为、。点到平面得距离为.、 ( 008 福建文 ) 如图 ,在四棱锥中 ,侧面 PAD底面 ABCD, 侧棱 PA=PD=,底面 AB D 为直角梯形 ,其中 BC D,AB CD,AD=2AB= C=2,O 为 AD 中点。 (1)求证 : O平面B ;( )求异面直线PB 与 C所成角得余弦值;(3) 求点 A 到平面 PCD 得距离5.解 :如图 ,A(0, 1,0
