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1、求极限的若干方法摘 要：在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。本文主要 探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法，而且把每 一种方法的特点及注意事项作了详细莹点说明，并以实例加以例解，因此弥补了一般教材的 不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具 针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余。关键词：夹逼准則 单调有界准则 洛必达法则 微分中值定理学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性。因为，代数 是人们已经熟悉的槪念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以
2、为了要利用代数 处理代表无限的量，於是精心构造了 “极限”的概念。一、函数极限的定义性质及作用在“极限”的左义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦， 而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小 戢可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为 该数一一你可以认为这是投机取巧，但是他的实用性证明，这样的泄义还算比较完 善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。限的概念是髙等数学中最基本最重要的槪念,它是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的.例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆而积的方法 一割圆
3、术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准左义：对数列暫，若存在常数，对于任意0,总存在正整 数N,使得当nN时，|冷一対0,总存在正整数X,使得当xX时，|兀一成立，那么称A是函数/（X）在无穷大处的极限。设函数于（兀）在X。处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A,对于任意0, 总存在正数5,使得当|x-x0|J时，卜勺|成立，那么称A是函数/(x)在“处的极限。函数极限具有的性质：性质1(唯一性)如果Umf(x)存在，则必泄唯一性质2 (局部有界性)若lim f(x)存在，则/在入的某空心邻域内有界性质 3 (保序性)设 lim/(x) = lim/(x) = cXW7性质4 (迫敛性)
4、设lim/(x) = limh(x) = A ,且在某(/n(x0; J)内有 f(x) g(x) 0,总存在一个正整数N ,当nN时,都有|X” 询 ,我们就称d是数列X”的 极限.记为hmX=a./r-*x例1：按定义证明lim丄=0.“TOC n解：=(7?-1)(/2-2).1 丄即可，ns存在N当nN 时,不等式：l = l(n-l)(n-2).li.V(|.V lim/W g 卜 lim/W - limg XT.Xf“I乂若limggHO,则出在时也存在，且有g(X)limXfY。fMg （兀）lim/Wlimg（x）利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般
5、所 给的变量都不满足这个条件，如工、V等情况，都不能直接用四则运算法则， 00 0必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1:求limx-2x2 -4x-2解：原式=hm上洱 = lim（2）=o Y“X /3. 利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变疑作适当的放大和缩小，使放大与缩小 所得的新变量易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于公共值。特别是当 在连加或连乘的极限里，可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例3:求 的极限。解：对任意正整数n,显然有11 + ，2n 2n
6、 rr ir ni?而_o, 0,由夹逼性泄理得nnlim 片=0Hfg ff _4. 利用两个重要极限求极限两个极限公式(1)sinx lim=lim xesin = 1Xcos r2 sin .X Xsin x cos cos cos2 22cos歹 xsin lim(l + 丄T=lim(l+ %)，=(2) i X D在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可 以利用公式。例：求下列函数的极限4广XXXXlim Jlimcoscoscos -cos TOCw2T232lim(l(2) “一30X X cos cos = cos解：(1)2 2 sin 1sin
7、xXXXXlim coscos cos cos 22223Tlim!sinx“T* i X2 sin 2Z,sinxlim 2 sin rsin xlim5 limcosisinxx =1/rXXCOS 4 COS7T235.利迫敛性来求极限设 lim f(x) = lim g(x) = A，且在某J )内有 f(x) h(x) g(x),则lim h(x) = A例5：求lim x的极限解:1X0）= lim 丄（丄）卩”卄IVs七n设f(x) = xp,则jx)在0,1内连续, 山丄，取$=丄曰匸1,丄 nn n n所以，/)=(丄)p n所以原式=(xpdx = Jop +1堆点：泄积分
8、的概念，上限函数，立积分的换元法。8. 利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先，利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量，这一方法在求极限时常常用到；再者 利用等价无穷量。在求函数极限过程中，如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相 除时，这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替，从而使计算简化。例8:求lim sin x的值.YTX f解：因为lim丄是无穷小钛 而limsinx是有界变崑 所以.VfXT0Clim-V sin x还是无穷小量，艮卩00 Xlim-!rsinx = O9. 利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当
9、引入新变量, 以替换原有的变疑，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷 小的代换。例 9: 已知 limxn = a. lim yn =b 试证 lim +i + + =/?30“TOC TOO证明：令则0 1 &卩寸七匕空 3 |0,使得laSM(SYN)。故1 %久+匕卩十34 M I0J4阳+厶+10”1 一Qnu10. 利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证 极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往 往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的
