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1、函数思想巧解题淮安市清浦中学常保平(223002)以函数为载体把方程与不等式等知识融合起来，具有丰富的内涵，体现了数学学科的内在联系和知识的综合运用。一、数形结合，一目了然21.如果方程x -(a-1)xa = 0的两个根中，一个根比 2大，另一个根比2小，则实数a的取 值范围是。分析本题易从方程的角度来探究解题思路，那么就会有两种想法：一是令.：0时，直接a _ 1 丄心 a2 _ 6a +1用求根公式写出根的表达式x，然后比较根与 2的大小关系，解不等式组；2二是用转化的思想，构造出两个根分别与2的差是异号的，运用根与系数关系解题，要优于第一种解法，但仍显复杂。如果能用函数观点分析题意，从
2、数形结合入手，由图象知，抛物线开口向上，当图象与x轴的两个交点分别在点(2,0)的两侧时，f(2)0 恒成立，反之亦成立，这样的解题过程一目了然。【解】设f (x) = x2 - (a -1)x a，二次项系数为1且大于0,则f (2) 0，即 4 2( a 1) + a 6.评注结合本题的解法，我们可以进一步讨论：方程f (x) =0的两根中一根比:大，另一根比小二a f C ) 0 , f(0)0 ,确定在区间(-1,0)上有一个交点，f(1)0 ,确定在区间(1, 2)上有一个交点，从而可以探求到满足题意的条件。【解】设 f (x) = x2 2ax 2a 1，由已知得函数图象与 x轴的
3、交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出图形，得f (-1) =2 0f (0) = 2a +1 c 051a :f (1) = 4a 2 : 062f (2) =6a 50评注解决本题的关键是数形结合，条件严谨。我们还可以进一步研究一般性的结论：方程f(x)=0有两个不等根，其中有一个根在区间(m,n)内二 f (m) f (n) ： 0,或f(m) f( n) =0时要检验另一根是否在(m,n)内。三、函数探究，避免讨论3.关于x的方程x2 -x=a在区间(-1, 1)上有实数根，试求 a的取值范围。分析根据题意，方程的根可以是两个相等实根，也可以是不等实根，不等实根时要讨论是仅有一个根在区间(-1, 1) 上，还是两个根都在(-1, 1)上，具体解题时分类会更细，且解题过程 也比较复杂。如果把 a看成是x的函数，那情况如何呢？2 1 2 1 1【解】画出函数a =x2 -x =(x )2,x(-1,1)的图象，抛物线被夹在直线 y= 和y=2244之间，显然可得评注本题通过构建函数来解题，避免了分类讨论，解题过程简捷明了。方程是函数的特殊情形，函数思想使数与形有机结合，在遇二次方程等问题时，若能联系函数 性质及图象探究其解题途径，常能起到事半功倍的效果。
