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1、证明整除或求余数:-h匕知识内容1二项式定理二项式定理（a +b $ =C0an +Cn1anJb+C2an_2b2 十十C：bn（N*）这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项Cran Cianlb C2an b2 . Cb0叫做a b “的二项展开式，其中的系数C： r =0, 1, 2,., n叫做二项式系数，式中的C：anbr叫做二项展开式的通项， 用Tr d表示， 即通项为展开式的第r 1项：Tr Cnanbr .二项式展开式的各项幕指数二项式（a +b $的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数n . 字母a的按降幕排列，从第一
2、项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增 1直到n.几点注意n 通项Tr+=Cna b是（a+b）的展开式的第r+1项，这里r=0, 1,2, ., n ._nnr n r r 二项式（a+bj的r +1项和（b+aj的展开式的第r+1项cnb a是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（C：）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负. 通项公式是(a + b $这个标准形式下而言的，如(a b $的二项展开式的通项公式是Tr + =(-1 jcnan-br (只须把看成b代入二项式定理
3、) 这与TF=cnanbr是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 cn，但项的系数一个是(i j cn，一个是cn，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念. 设 a =1, b =x，则得公式：1 x =1 C；x C2x2 . Cxr . - xn . 通项是Tr彳=C：anbr r =0, 1, 2,., n中含有t仆a, b, n, r五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素. 当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(V x)n的近似值.2.二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三
4、角计算.杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.二项式系数的性质：(a +b )展开式的二项式系数是：Chclc：,.,C；，从函数的角度看C；可以看成是r为自变量的函数f r，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., nf.当n =6时，f r的图象为下图:这样我们利用“杨辉三角”和n=6时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.增减性与最大值 如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是
5、3nn c n(n巧 Cn=1, C；C1 2 3n n1 n 2 . n k 2 k:_I_Z:， Cnn n -1 n -2 . n -k 2 n -k 112 3. (k 1)k1 1 2n “Cn =1 .其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n, n -1, n2,.），分母是乘以逐次增大的数（如 1, 2, 3，）.因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k依次取1, 2, 3,等值时，C；的值转化为不递增而递减了 又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式
6、系数最大的项必在中间.当n是偶数时，n -1是奇数，展开式共有n 1 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大,n2最人为Cnn 1是偶数，n1项，所以有中间两项.当n是奇数时，展开式共有n An 1这两项的二项式系数相等并且最大，最大为Cn2二Cn2 . 二项式系数的和为2n，即 C； +C； +C： +.+C +.+C： =2n. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即CnCn Cn.C； C 9；. =2 .常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题.典例分析二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】 利用二项式定理证明：32n 2 -8n -9是64的倍数.【例2】 若n. N *，证明：32n 3 - 24 n 37能被64整除.【例3】证明：(1 +J5)2n +(1 75)2n( nE N *)能被2卄整除.【例 4】 证明：(1 、.3)2n 1 (1 - 3)2n 1(n N*)能被 2n 1 整除.【例5】23 -3除以7的余数;5555 +15除以8的余数是 ;1991 2000除以103的余数是 【例6】11100 -1的末尾连续零的个数是（）A. 7B. 5C. 3D. 2
