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1、高等数学训练题导数的应用及答案高等数学单元训练题第3章中值定理与导数的应用 一、单项选择题 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A)f(x)=13pp,-2,0(B)f(x)=(x-4)2,-2,4(C)f(x)=sinx,-,(D)f(x)=x,-1,1 x222、函数f(x)=sinx在0，p上满足罗尔定理结论的= 0 p3pp 221 lnx3、下列函数在1，e上满足拉格朗日定理条件的是 ln(lnx) lnxln(2-x) 4、函数f(x)=2x2-x+1在区间-1，3上满足拉格朗日定理的等于 (A) -33 (B)0 (C) (D) 1 444的单调减区间为 x5、函数y
2、=x+(A)(-,-2),(2,+) (B) (-2,2) (C) (-,0),(0,+) (D) (-2,0),(0,2) 6、若x0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是 (A) f(x0)=0 (B) f(x0)0 (C) f(x0)不存在 (D)f(x0)=0或f(x0)不存在 7、若在内，f(x)0,f(x)0，则f(x)在内为 (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线y=x3-6x2+9x+2的拐点是 9、y=f(x)在(a,b)内可导，且ax1x20,并且f(0)0,则f(x)在(0,1)内( ). 至少有两
3、个零点有且仅有一个零点没有零点零点个数不能确定 17、曲线y=6x-24x2+x4的凸区间是。 (-2,2)(-,0)(0,+)(-,+) 18、函数y=e-x在定义域内是严格单调。 递增且是凹的递增且是凸的递减且是凹的递减且是凸的 19、设f(x)=13x-x，则x=1为f(x)在-2,2上的。 3极小值点，但不是最小值点极小值点，也是最小值点极大值点，但不是最大值点极大值点，也是最大值点 20、函数y=x-arctanx在(-,+)内是。 单调递增单调递减不单调不连续 二、填空题 ex-e-x-2xex-e-x=_ 22、lim=_ 21、limx0x0sinxx-sinx1ln(1+ex
4、)x23、lim=_ =_ 24、lim2x+x0sinx1+xx2sin25、lim+x03x2lnx=_ 26、曲线y=ln(1+x2)的拐点是_ 1327、若f(x)=asinx+sin3x在x=p3处有极值，则a=_ 第9页 共10页 高等数学单元训练题第3章中值定理与导数的应用 28、曲线y=xe-x的凹区间是_ 29、设函数f(x)在x0处可导，则x0为f(x)的极值点是x0为f(x)的驻点的_条件 30、设函数f(x)二阶可导，则f(x)的二阶导数为0的点是曲线y=f(x)的拐点的_条件 三、计算题 x-sinxex-cosx31、lim 32、lim 3x0x0xsinx33、
5、limln(x-1)-xtanx1+p2x 34、lim(sin2x+cosx) x01x35、limsinx-sin(sinx)sinxarctanx-xlim。 36、。 43x0x0xln(1+2x)38、limx037、lim11-。 x0x2xtanx2sinxx01+x+1-x-2。 2x11-。 sinxx139、lim(1+3x)。 40、limcotxx0ln(1+sin2x)41、lim。 42、lim(1+x)x。 2xx0arcsin(x+x)四、综合题 43、讨论函数f(x)=44、求函数y=x的单调区间和极值 21+xlnx的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐
6、点。 x3245、设曲线y=ax+bx+cx在点处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求此曲线方程 五、证明题 46、用拉格朗日中值定理证明：ab0,a-baa-bln abbx0，有不等式248、设eab224(b-a)。 2e六、应用题 49、设有一长8cm、宽5cm的矩形铁片，在每个角上剪去同样大小的正方形问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大 50、一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费试问房租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？
7、 第10页 共10页 高等数学单元训练题第3章中值定理与导数的应用 第三章 微分中值定理与导数的应用参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D D D C C D D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D C B C B A C B A 二、填空题 21、2 22、2 23、0 24、1 25、0 26、(-1,ln2),(1,ln2) 27、2 28、(2,+) 29、充分非必要条件 30、必要非充分条件 三、计算题 112 33、0 34、e 36、- 66sinx-sin(sinx)cosx-cosxcos(sinx)1-
8、cos(sinx)cosxsin(sinx)1=lim=lim=lim= 35、原式=limx0x0x0x0x33x23x26x6xtanx-x2tanx-xxsec2x-12sec2xtanx1=lim=lim=lim= 37、原式=lim332x0x0x0x0xtanxxtanx3x6x31-x222(1+x+1-x)-42(1-x-1)2=-1 =lim=lim38、原式=lim2x0x1+x+1-x+2x0x02x24x2423239、原式=limexpln(1+3x)=limexp1+3x=e6 x0sinxx0cosx1x-sinxx-sinx1140、原式=limcotx-=li
9、m=lim=. 3x0x0x0xsinxtanxx6sinxx31、1 32、41、2 42、1 四、综合题 43、f(x)在(-,-1),(1,+)上单调减少，在上单调增加；极大值为f(1)=1，极小值为21f(-1)=-(0,e32) 244、 x (0,e) + - e 0 - 极大值e -1(e,e32) - - e32 0 拐点(e,32e32-32(e32,+) - + y y y ZI ZI ) ZU 345、y=-x+3x. 五、证明题 46、提示：对函数f(x)=lnx在a,b上用拉格朗日中值定理 47、证明：设函数f(x)=ln(1+x)-又f(x)=x，则f(x)在区间0
10、,+)上连续 1+x11x-=当x0时，有f(x)0，所以f(x)在区间0,+)上单调增加 221+xx0 因此当x0时，有f(x)f(0)=0，即ln(1+x)-1+x第11页 共10页 高等数学单元训练题第3章中值定理与导数的应用 故当x0时，有 48、提示：由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数f(x)=lnx-则f(x)=22xe时，f(x)0， 2xex2即f(x)严格单调递减，x(e,+)所以当exf(e2)=0 44222因此当exe时，f(x)严格单调递增，即f(a)lna-2a， ee422所以lnb-lna2(b-a)证毕 e六、应用题 49、当剪去小正方形的边长为1cm时，做成的开口盒子的容积最大 50、当每套月租金为1800元时，收入最大；最大收入为57800元 第12页 共10页
