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1、第5讲椭圆一、【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等 相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题； 四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等二、【经典例题精析】考点1椭圆的定义及其应用【5-1】已知椭圆的焦点是 Fi、F2, P是椭圆的一个动点，如果M是线段RP的中点，那么动点 M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛
2、物线的两个焦点，为椭圆【5-2】【河北省定州中学 2017届高三上学期周练】已知 、 是椭圆上一点，且.若的面积为9则【基础知识回眸】1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F、F2的距离的和等于常数(大于尸也|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(2)代数式形式：集合 P=M|MF1+|MF 2|=2a1|FF2|=2c. 若a c，则集合p为椭圆； 若a = c，则集合p为线段； 若a : c，则集合p为空集22 22x丄 y八,c、y丄 x一,c、2.椭圆的标准方程：焦点在 x轴时， 22=1(ab0)；焦点在y轴时， 22 =1(ab0)
3、a ba b【方法规律技巧】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解.2. 涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解【新题变式探究】【变式一】已知 ABC的顶点B、C在椭圆2x+ y =13上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABCP为圆 M : x- - 3 彳 y2 =24 上的动点，定的周长是【变式二】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】如图,点 Q - 3,0 ，线段 PQ 的垂直平分线交线段 MP于点N(1) 求动点 N 的轨迹方程;(2)记动点N的轨迹为曲线 C，设圆0 ： x2 +
4、 y2 = 2的切线l交曲线C于A,B两点，求 OALOB 的最大值.【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论:(1)椭圆上任意一点P(x，y)(yM0与两焦点F!( c,0)，F2(c,0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a + c).(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边，a2 = b2+ c2.考点2椭圆的标准方程2 x【5-3】已知椭圆C:2a2y -1(a b 0)b2的左右焦点为F1,F2离心率为兀，过F2的直线l交C与A,B两点，若 AF1B的周长3的方程为2xA.32=1B.C.2xD. 1212【5-4】求满足下列各条件的椭圆的
5、标准方程:(1)长轴是短轴的 3倍且经过点 A 3,0；(2) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为【基础知识回眸】1.椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴，2x+ab2=1(ab0)(2)焦点在y轴,2x孑=1(ab0).2.满足条件:2a 2c,2.22小a = b + c， a 0,b0, c0【方法规律技巧】1. 求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参).当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为2 2乙 V-=1m n(m 0， n0且 m = n)，可以避免讨论和繁杂22的计算，也可以设为
6、 Ax + By =1 (a 0，b 0且ab)，这种形式在解题中更简便.2. a2.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量a, b, c, e,c等之间的关系，并能熟练地应用.【新题变式探究】 【变式一】求经过点 P(-2?3,1),Q3,-2) 两点的椭圆标准方程【变式二】求与椭圆2 2+ =1有相同离心率且经过点 (2,-3)的椭圆标准方程.43【综合点评】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是:作判断：根据条件判断焦点的位置.(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2+ n y2=1(m0,
7、 n0且m = n)-(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、 b、 c或m、 n的方程组.(4)求解，得方程.2 2 2xyx2. (1)方程 2 +2 =1 与 2aba2y+= ( 0)有相同的离心率.b2(2)与椭圆2 2x y+ =1(ab0) 共焦点的椭圆系方程为 a2 b2a2 k2y= 1(ab0, b k 0) ，恰当运用椭圆系 b k方程，可使运算简便.考点3椭圆的几何性质2x【5-5】已知椭圆C:-2a2y2 =1 (a b 0)的左、b2右焦点为43F、F2，离心率为，过F?的直线l交C于a B两点,3若 .：AF,B 的周长为 4 3 ，则C的方程为(2xA.32xy
8、 132 2Li12 822D. H=1124【5-6】设P是椭圆x225Fj, F2是椭圆的两个焦点,PF1 卩F2 = 0,则-F1PF2面积是 ()A. 5B.10c.8D. 9【基础知识回眸】椭圆的标准方程及其几何性质2 2 22 a2 c, a = b + c， a0， b0, c0图形yyV0 x标准方程2 2?+=1(ab0)2 2+=1(ab0)范围x 兰a, y b0)上任意一点a2b2P(x, y)，则当x = 0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处；当x= a时，|OP有最大值a,这时P在长轴端点处.(3)椭圆上任意一点P(x, y)(yn0与 两焦点Fi( c,
9、0)F2(c,0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a+ c).(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2 = b2+ c2.2. 重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征.考点4直线与椭圆的位置关系【5-7 【2016高考新课标1卷设圆y22x15 =0 的圆心为A,直线l过点B ( 1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(I)证明EA EB为定值,并写出点E的轨迹方程;A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围(II)设点E的轨迹为曲线 C1,直线l交C1于M,N
10、两点，过B且与l垂直的直线与圆2x【5-8 已知椭圆一2y2 =1上两个不同的点A, B关于直线y =mx 1对称.2(1) 求实数 m的取值范围;(2) 求 AOB 面积的最大值( O为坐标原点)【基础知识回眸1. 直线与椭圆位置关系的判断(1) 代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2+ Bx+ C = 0.记该一元二次方程根的判别式为，若A 0,则直线与椭圆相交；若 A= 0,则直线与椭圆相切；若 A 0,则直线与椭圆相离.(2) 几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.2. 直线与椭圆的相交长问题：(1 ：2)1 丫
11、2)2 rym(1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点M (咅,y1), N(x2, y2),则弦长公式为 MN =J(1 +k2)(X1 +X2)2 4x1X2或 MN =(2)弦中点问题，适用 点差法”.【方法规律技巧1.涉及直线与椭圆的基本题型有:(1)位置关系的判断(2) 弦长、弦中点问题(3) 轨迹问题(4) 定值、最值及参数范围问题(5) 存在性问题2. 常用思想方法和技巧有:(1)设而不求(2)坐标法(3)根与系数关系3.若直线与椭圆有两个公共点 M (x-i, yj, N (x2, y2),可结合韦达定理，代入弦长公式MN =伙2)(为 +X2)2 -4XM或 MN| = (1 +右)(丫 i + 丫2
