《小波和多尺度简介》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小波和多尺度简介（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据 表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。传统的信号表示理论基于正交线性变 换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有 效地表现出来。例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数， 也不能用单一的正弦基函数有效地表示。在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里， 但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。所以，人们希望寻找一种能够同 时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。在图像和视频处理方面，常用的信号
2、分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦 变换、小波变换等。离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具 有时频局部化特性的信号特征。小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表 现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性 时效果并不是很好。因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到 图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻 变革。最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。新的信号表示理论的 基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，
3、字典的选择尽可能好地 符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。从字典中找 到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给 定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。利用贪婪算 法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用 高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。从基函数的形成来讲，在图像表示方面体现为多尺度几何分析，无论是曲波(curvelets)、 带波(bandlet
4、s)，还是仿形波(coutourlets),都要求基函数应具备下述特点：(i)多分辨率分析， (ii)时频定位能力，(iii)全角度分析(方向性)，(iv洛向异性的尺度变换。这些新的冗余函数系 统的不断涌现，使信号稀疏表示的方法更加成为研究的热点。超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年代。1993年Mallat和Zhang首次提出了应 用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(marching pursuit, MP)算 法。在这篇文献中，作者用自然语言表述浅显的类比，说明超完备冗余字典对信号表示的必 要性，同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所固有的特性，以实现MP算
5、法的自适应 分解。新思想的提出引起人们极大的关注，但由于算法所涉及的计算量十分繁重，因而早期研 究的焦点集中在如何实现算法的快速计算，降低算法的复杂度，以及选择何种类型原子构造 合适的字典两方面。这期间，许多音视频信号处理方面的实验都对MP算法作出了有利的支 持，尤其在甚低码率视频编码方面，MP算法更显示出极大的优越性.1999年Donoho等人又另辟蹊径，提出了基追踪(basis pursuit, BP)算法，并从实验的角度 举证了 MP,MOF和BOB算法各自的优劣。稍后，又在2001年发表的另一篇重要文章中， 给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件，并提出了字典的互不相干性的概
6、念。注：摘自基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解自1807年Fourier提出任意一个周期为2n的函数都可以表示成一系列三角函 数的代数和，到今天蓬勃发展的小波分析，科学家们的研究目的是对不同的函数 空间提供一种直接、简便的分析方式，即寻求函数在某一特定空间下，在某种基 下的最优逼近。逼近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能 量集中程度。Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，即将 函数用一簇三角基展开，将原函数在时域中的讨论转换为对这个叠加权系数的讨 论，即Fourier变换在频域中的研究。这种三角体系展开方式的局限性促使人 们去寻找其他的正
7、交体系小波分析。小波分析的地位在数学界是独一无二 的，它较精确的时频定位特性，成为处理非平稳信号的有利工具；也证明了小波 分析比Fourier分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数。这是小波 分析成功的一个关键原因。但是，由于张量积小波只具有有限方向数，它主要适 合表示一维奇异性的对象，当它在处理二维或更高维奇异性时，就显得无能为力。 小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法多尺度几何分 析应运而生。它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方 向性和多尺度性。它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到
8、最优或最 稀疏的表示方法。目前，已有的多尺度几何分析方法有Emmanuel J Candes等 人提出的脊波变换(ridgelet transform)、单尺度脊波变换(monoscale ridgelet transform)、curvelet 变换(curvelet transform), E. Le Pennec 等人提出的 bandelet变换，以及M.N.Do等人提出的contourlet变换。另外，还有一些多 尺度分析方法，如David Donoho提出的wedgelet、beamlet等。本文根据以上 方法出现的时间顺序来讨论其逼近性能的异同。 在图像处理方面，图像的 稀疏表示在
9、对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用。由于余弦基和小波基 能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，成为图像稀疏表示的重要方 法。如今，多尺度几何分析的出现，又为图像的稀疏表示提供了一个全新而又有 效的方法。1奇异性分析本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或某阶 导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。图像的奇异性或非正则结构通常包含 了图像的本质信息。例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分，这是认识 图中最重要的部分。图像的奇异性是常见的，也是重要的。在自然界中光滑物体 的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性，并不仅是点的奇异性。在数学上，通常 用Lipsch
10、itz指数刻画信号的奇异性大小8。3多尺度几何分析31脊波变换脊波理论的基本框架是由E.J Candes建立，并与D.L.Donoho等人在其后续工 作中12逐步拓展和完善。脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对含 直线奇异的多变量函数能够达到最优的逼近阶。脊波理论的提出在多尺度几何分 析史上产生了深远的影响，具有不可估量的价值。脊波变换的核心主要是经过 radon 变换把线状奇异性变换成点状奇异性。小波变换能有效地处理在 radon 域 的点状奇异性。其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的， 所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能 力，可
11、以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。这是小波方法所不能得 到的。312 数字脊波的实现在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题。由于 脊波的径向性质，对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值。这样的变 换结果或者是冗余的，或者不能完全重构。脊波变换数字实现的优劣很大程度上 取决于其中radon变换数字实现的重构精度。为此，人们提出了各种各样的方法, 大体上可分为在 Fourier 域利用投影切片定理的方法1315、多尺度方法 16,17和代数方法18三类。近似脊波变换建立在所谓的伪极坐标网格基础上。首先对nXn的离散点列作二维FFT,并对得到的包含nXn个点
12、的频域点 列作径向划分；然后估计各个径向直线方向上n个数据点的值。在每个径向方向 都有n个节点，再对这n个点列作一维IFFT，从而得到对应于图像域的2n 2个 点列，对这些点列作均匀化插值和重组就得到一次radon变换的结果。根据图1 即可实现脊波变换19。但其有两点不足：在实现频率平面中直角坐标向极坐标 变换的过程中引入误差是明显的；它具有总数为四倍的数据冗余性。因此这种脊 波变换不适合图像编码压缩。M.N.Donoho等人20提出另一种数字脊波实现方法，称为有限脊波变换(FRIT)。 首先用有限radon变换将一幅图像变换到FRAT域中，再对每一个投影序列进行 离散小波变换(DWT),r
13、k0,r k,，r kpl。其中方向k是固定的。这种方法 可以同时做到可逆性与非冗余性，并且是完全重构的。但由于有限脊波变换是基 于有限radon变换构造的，有限radon变换在表达直线时有折叠效应，有限脊波 变换在几何上不是真实的。Donoho和Flesia21为了克服有限脊波变换的折叠效应，构造了一种数字脊波 变换。它能用真实的脊函数进行分解和合成，并且具有精确重构和框架性质。这 种脊波变换采用的radon变换，称做fast slant stack13。首先进行fast slant stack 运算，然后进行二维快速小波变换。这种构造使得离散物体(离散脊波、 离散radon变换、离散伪极坐
14、标Fourier域)具有与连续脊波理论平行的内在联 系(脊波、radon变换、极坐标Fourier域)。Donoho构造的脊波变换在几何上 是真实的，即在此处radon变换的确是沿直线积分的，从而避免了折叠效应。在 创建系数矩阵时，它将一个nXn的矩阵变换为2nX2n的矩阵，因此冗余因子为 4。这在一定程度上影响了运算速度。这种脊波变换在实现上的缺点是正交脊波 系数衰减速度相对较慢。313脊波逼近能力 定理4设f是Cr的函数，沿某一直线是不连续的，除此之外均为r阶连续。从 脊波级数中选取对应于前M个最大系数的项，对f所作的非线性逼近误差为 即 逼近误差显示似乎不存在间断，这个结果对任意 r 阶
15、光滑都是成立的。 该 方法的显著特点是无须知道间断的位置。类似地，一维小波变换也无须先验地知 道点奇异的位置。因而对于具有直线奇异的函数，脊波的表示是最优的。314 小结与展望从上面的分析可知，脊波在分析直线奇异的分段光滑的高维函数方面是优秀的 36，脊波已经成功应用于数学中的函数逼近、信号检测、特征提取、目标识别， 以及图像恢复、去噪、增强等方面。在脊波分析的框架下，结合二进小波变换的 局部脊波变换，用于检测直线的方法，应用于方向性较强的图像获得了良好的检 测效果。但是必须看到，对于自然物体而言，奇异的边界是曲线的，经过radon 变换后仍然为曲线，而小波对曲线不具备稀疏表示的能力。因此脊波不能够处理 曲线奇异的高维函数。另外，脊波的数字化实现仍然是一个有待进一步提高的问 题。如何很好地解决冗余度和精度，提高运算速度，是制约着脊波走向广泛应用 的主要因素。http:/www. math. ucdavis. edu/%7Evershynin/ papers/ROMP-stability.pdf.
