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1、 .wd.第一章 平移、对称与旋转第4讲 利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短问题求解。2.能将实际问题或几何问题对称背景图中有关最短路径线段之差最大值问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。二、根基知识轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：1在连接两点的所有线中，线段最短两点之间，线段最短；2三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3在三角形中，大角对大边，小角对小边。4垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线
2、段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短或者“三角形两边之和大于第三边加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折转“直。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。三、重难疑点轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题的原型来自于“饮马问题、
3、“造桥选址问题，出题通常以直线、角、等腰边三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。1“一线同侧两点问题例1如图，点A、B在直线m的同侧，点B是点B关于m的对称点，AB交m于点P1AB与AP+PB相等吗为什么2在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由解析：1点B是点B关于m的对称点，PB=PB，AB=AP+PB，AB=AP+PB2如图：连接AN，BN，BN，AB=AP+PB，AN+NB=AN+NBAB，AN+NBAP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题
4、转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短及三角形三边的关系等变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置2“两点两线平行问题例2如以以下图，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想方法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的如图，作BB垂直于河岸GH，使BB等于河宽，连接AB，与河岸EF相交于P，作P
5、DGH，那么PDBB且PD=BB，于是PDBB为平行四边形，故PD=BB根据“两点之间线段最短，AB最短，即AP+BD最短故桥建设在PD处符合题意点评：此题考察了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短， 解决“造桥选址的简单的实际问题但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进展转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进展转化，以后还会学习一些线段转化的方法变式2如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一座桥CD请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直要求写出作法，并
6、说明理由3“一点两线相交解决周长最短问题例3：如以以下图，ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使PP1P2的周长最小解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M，以BA为对称轴作出P的对称点N，连MN交BA、BC于点P1、P2PP1P2为所求作三角形点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小问题将军饮马问题，其核心是化折为直两点之间线段最短的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题变式3 城关中学八2班举行文艺晚会，桌子摆成两直条如图中的AO，BO，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，
7、站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在以以下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短4“一线异侧两点 “差最大 问题例4在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差的绝对值最大解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B，作直线AB交XY于P点，那么点P为所求点如图；假设BAXY即B、A到直线XY的距离相等，那么点P不存在证明：连接BP，在XY上任意取点P，连接PA、PB，那么PB=PB，PB=PB，因为|PBPA|=|PBPA|AB=|PBPA|=|PBPA|，所以，此时点P使|PAPB|最大点评：此题考察的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根
8、据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解变式4.如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，假设AB8 cm，MBC的周长是14 cm，1求BC的长2在直线MN上是否存在点P，使PACP的值最大，假设存在，画出点P的位置，并求最大值，假设不存在，说明理由。5“两点一线线段例5 直线L的同侧有两点A、B，在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧。作法：将点A向右平移a个单位到A1作点B关于直线L的对称点B1连结A1B1交直线L于点D过点A作ACA1D交直线L于点C，连结BD，那么线段AC、CD、D
9、B的和最小。点C、D即为所求。 变式5长方形OACB，OA=3，OB=4，D为边OB的中点1假设E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，画出点E的位置；2假设E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，画出点E、F的位置；6台球击点问题例6如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M，N两点处，问：怎样撞击白球M，使白球先撞击台边BC，反弹后再去击中黑球N解析：作N关于BC的对称点N，连接MN交BC于点E，连接EN按ME方向撞击白球M，白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N，必须使MEB=NEC由轴对称还可得，N
10、EC=NEC又对顶角MEB=NEC，故可得到MEB=NEC此题重在考察轴对称的性质在实际生活中的应用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏开场时，甲站在长方形操场ABCD内部的E点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上游戏规那么是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲如果他们四人的速度一样，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短请画出路线，并保存作图痕迹，作法不用写四、课时作业轻松练A.根基题组1.如图，直线l是一
11、条河，P，Q是两个村庄欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，那么所需管道最短的是A、B、C、D、2.，如图ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，那么PD+PB的最小值为cm 第2题 第3题3.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，PCD=4.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级2班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线如图：AO，OBAO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，AOB小于90度，请你帮助他设计一条行
12、走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线保存作图痕迹，不写作法、不必说明理由B.中档题组5.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置6.如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在黄昏回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水MN、PQ均为直线，试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短简要说明作图步骤，并在图上画出C.挑战题组7.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE桥宽不计，设护城河
13、以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的路程最短，画出路程图五、我的错题本参考答案变式练习变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A，连接AB，与公路的交点就是点P的位置变式2 解：如图，过点B作BCn，且使BC等于河宽，连接AC交直线m与M，作MNBC即可理由：两点之间线段最短变式3解析：此题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使CDE的周长最小如果作点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，CDE的周长为CD+DE+EC=MN，此时周长最小变式4解：1因MN垂直平分AB，所以M
14、BMA，又因MBC的周长是14 cm，故AC+BC14 cm，所以BC6 cm.2当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PACP的值最大，最大值是6cm，理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP，当点P位于MN直线MN与BC延长线的交点除外上时，根据三角形三边关系始终有PBCPBC，当点P位于直线MN与BC延长线的交点P时，即B、C、P三点成线时，存在PACPBC6 cm为最大值，变式5解：1如图，作点D关于OA的对称点D，连接CD与OA交于点E，连接DE假设在边OA上任取点E与点E不重合、，连接CE、DE、DE由DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE，可知CDE的周长最小2如图，作点D关于OA的对称点D，在CB边上截取CG=2，连接DG与OA交于点E，在EA上截取EF=2，GCEF，GC=EF，四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，又GC、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小变式6解：作点G关于CD的对称点G，作E关于AB的对称点E连接GE，交CD于点F、交AB于点H，故比赛最短的路线为：EHGF课堂作业A.根基题组1.D解析：利用对称的
