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1、2.7 函数与方程基础自测1.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是 . 答案a或a-12.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 答案03.函数f(x)=ex-的零点个数为 . 答案 14.如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是 . 答案（-，-2）（6,+）5.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为，则f(1)= .答案 0例题精讲 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x1，8；（2）f(x)=x3-x-1,x-1，2；（3）f(x)=lo
2、g2(x+2)-x,x1，3.解（1）方法一 因为f(1)=-200，所以f(1)f(8)0，故f(x)=x2-3x-18，x1，8存在零点.方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x2-3x-18,x1，8存在零点.（2）f（-1）=-10,f（x）=x3-x-1，x-1，2存在零点.（3）f（1）=log2（1+2）-1log22-1=0.f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0.f（1）f（3）0故f(x)=log2(x+2)-x在x1，3上存在零点.例2 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.解 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由
3、图可知两图象只有一个交点，故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.例3 （14分）（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.解（1）若a=0，则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意； 2分若a0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于=1+4a=0，解得a=-， 4分综上所述a=0或a=-. 6分（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即|4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根. 8分 令g(x)=|4x-
4、x2|,h(x)=-a.作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根， 那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点. 12分故需满足0-a4,即-4a0.a的取值范围是（-4,0）. 14分例4 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间1，1.5内的一个零点（精确度0.1）. 解 由于f(1)=1-1-1=-10,f(x)在区间1，1.5上存在零点，取区间1，1.5作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|0.51.25f(1.25)00.251.375f(1.375)00.1251.312 5f(1.312 5)
5、00062 5|1.375-1.312 5|=0.062 51),判断f(x)=0的根的个数.解 设f1(x)=ax (a1),f2(x)=-,则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=-1的图象（如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.3.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解 方法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2 (x1x2),则(x1-
6、1)(x2-1)0,x1x2-(x1+x2)+10,由韦达定理得(a-2)+(a2-1)+10,即a2+a-20,-2a1.方法二 函数的大致图象如图所示,则有f(1)0,即1+(a2-1)+a-20,a2+a-20,-2a1.4.利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解.（精确到0.1）解 如图，由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间（2，3）内.设f（x）=lgx+x-3，用计算器计算，得：f（2）0x1(2,3)f(2.5)0x1(2.5,3)f(2.5)0x1(2.5,2.75)，f(2.5)0x1(2.5,2.625)，f(
7、2.562 5)0x1(2.562 5,2.625).因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为:x12.6.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.下列函数中在区间1，2上存在零点的函数的序号是 . f（x）=3x2-4x+5 f（x）=x3-5x-5 f（x）=mx-3x+6 f（x）=ex+3x-6答案2.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 （填序号）. 答案3.设函数y=x3与y=(x-2的图象交点为（x0,y0），则x0所在的区间是 (写出一个精确到整数的端点的区间即可) 答案（1，2）4.f(x)=的
8、零点个数为 . 答案15.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 答案（-2，2）6.已知f(x)=1-(x-a)(x-b) (ab),m,n是f(x)的零点，且mn,则实数a,b,m,n的大小关系是 . 答案mab0，求实数p的取值范围.解 二次函数f(x)在区间-1，1内至少存在一个实数c,使f(c)0的否定是对于区间-1，1内的任意一个x都有f(x)0,即整理得：解得：p或p.二次函数在区间-1，1内至少存在一个实数c，使f(c)0的实数p的取值范围是(-3,10.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a的
9、取值范围.解 设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线（如图所示）.f（x）=0的两根分别在区间（-2，0），（1，3）内，即解得-12a0,则应有f(2)0,又f（2）=22+（m-1）2+1,m-.若f(x)=0在区间0,2上有两解,则 由可知m-1.12.已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根.证明 若a=0时，则b0，此时方程的根为x=，满足题意.当a0时，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b）.（1）若a(a+b)0,则f（0）f（）=-（a+b）(-a)=a（a+b）0，所以f（x）在区间(0,内有一实根.（2）若a（a+b）0，则f(f（1）=(-)（2a+b）=-a2-a（a+b）0，所以f（x）在区间(，1）内有一实根.综上所述，方程3ax2+2bx-(a+b)=0在（0，1）内一定有实根.62
