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1、随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为 x1 , x2 , , xi , xn ， X 取每一个值 xi (i1,2, , n) 的概率P( Xxi )pi ，则称以下表格Xx1x2xixnPpp2ppn1i为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列 .离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（ 1） Pi 0, i1,2, n （ 2） p1p2pn11两点分布如果随机变量X 的分布列为X01P1-pp则称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 为成功概率 .2超几何分布一般地，在含有M件次品的 N件产品中，任取n 件，其中恰有X 件
2、次品，则事件Xk 发生的概率为：P( Xk)CMk CNn kM, k 0,1,2,3,., mCNn则随机变量 X 的概率分布列如下：X01mPCM0 CNn 0MCM1 CNn 1MCMm CNn mMCNnCNnCNn其中 mmin M , n ,且n N, MN ,n,M , N N * 。注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设 A,B 为两个事件 , 且 P( A)0,称 P(B|A)P( AB)为在事件 A 发生的条件下 , 事件 B 发生的条P( A)件概率 .0 P(B | A) 1如果 B和 C互斥，那么 P( B U C) | AP(B | A) P(C |
3、 A)三、 相互独立事件设 A，B 两个事件， 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即 P(AB)P( A) P(B) ), 则称事件A 与事件 B 相互独立。 即 A、 B相互独立P( AB)P( A) P(B)一般地，如果事件 A1,A 2, ,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P( A1A2. An )P( A1 )P( A2 ).P( An ) .注： (1) 互斥事件 ：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2) 相互独立事件 ：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复
4、做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记Ai 是“第 i 次试验的结果” ，显然， P( A1 A2An )P( A1 ) P( A2 )P( An )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注 : 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n 次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X，在每次试验中事件 A发生的概率为 p，那么在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为P( Xk)C
5、nk pk (1p)n kCnk pk q n k , k0,1,2,., n.(其中 q1p) ，而称 p 为成功概率 .五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则P( Xk)C nk pk (1p)n k ， k0,1,2, nX01knPCn0 p0qnCn1 p1qn 1Cnk pkqn kCnn pnq0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X B(n, p) ，并称 p 为成功概率 .六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 E( X )x1 p1
6、x2 p2xi pixn pn为 X 的数学期望或均值，简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1若 YaXb ，其中 a，b 为常数，则 Y 也是变量Yax 1 bax 2baxibax nbPp1p2pipn则 EY aE ( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b2一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1p0(1p)p即若 X 服从两点分布，则E( X )p3若 X B(n, p) ，则 E( X )np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 DX(x1E( X ) 2 p1(x2E( X )2p2( xnE( X ) 2 pn为随机变量X的方差.并称DX 为随机变量X的标准差 .1若X 服从两点分布，则D(X)p(1p)2若 X B(n, p) ，则 D ( X )np(1p)3 D (aXb)a2 D( X )
