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1、数学的现代基础与高中函数教学云南省腾冲县民族完全中学 李春燕摘要：函数一直是各国中学教材中炙手可热的话题，函数内容贯穿整个中学数学，其重要性不言而喻。本文介绍了函数概念的发展历史，对比现代数学和中学数学对函数的定义，从更高层次理解函数的本质。本文对函数的课程内容进行了分析，并分析了函数教学的基本思路。关键词：函数；映射；函数教学：高观点：数学课程1 函数概念的历史发展最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数贝努利所强调的是
2、函数要用公式来表示。欧拉、达朗贝尔、傅立叶等几代数学家对函数概念进一步刻画得到如下概念：“函数是指一个变量和一些常量，通过任何方式形成解析式。”这一概念任然是不完善的，他把函数这一广泛的概念和解析式相混，把一些其他方式给出的函数排除在外。1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线”1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本
3、的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。而这种对应关系并非一定要有解析式。他举出出名的“狄利克雷函数” 来说明。19世纪，70年代，德国数学家康托尔集合论的产生，建立了函数的几何对应定义。即“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A中的每一个元素，在B中有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为A到B的函数。”20世纪60年代，人们给出了函数的关系定义。现设是X与Y的关系，即：XY，如果必有y=z，那么称为X到Y的函数综上所述，对函数概念的解释
4、通常有四种方法：其一，是把函数定义为具有那种特征的状态，而不是函数本身；其二，吧函数说成是法则或规律；其三，是把函数说成是对应；其四，是把函数说成是一种关系。十六世纪后，变量以及函数概念成为数百年的研究中心，函数概念因此成为近、现代数学的基本概念。可以说函数是近、现代数学的基石。2.高观点下的高中函数中学数学的内容是常量数学和变量数学的初步认识，是中学数学的基础，也是很多高等数学的特例和原型。因此，从更高观点看中学数学，就要把现代数学的某些概念和理论和中学数学的特例和原型联系起来，这不仅有助于我们对现代数学的理解，而且还能准确把握中学数学的本质和关键。函数是贯穿中学数学的一条主线，它和很多内容
5、相关，是学好中学数学的基础。下面我们结合初高中函数概念，并结合大学知识，对函数再认识。（1） 笛卡尔集假设A和B都是集合，A和B的笛卡尔积用来表示，是所有有序偶（a,b）的集合，其中 。 则所形成的集合就叫笛卡尔集。（2） 映射设A、B是两个非空集合，若f: (f为A,B的笛卡尔集的子集)，且对任意的存在唯一的，使得，则称f是A到B的映射。换言之，f是一个映射，对任意，存在，使得；如果对于有和，则y=z。（3） 函数由映射与函数的关系可知，特别地，当A、B是非空数集时，且对任意，存在使得此时，映射f:AB就是高中数学中函数的概念。回顾中学函数概念，中学用“对应”和“对应法则”来定义函数；而高等
6、数学则是用“关系”与“笛卡尔集”来定义函数。映射的概念反应了事物运动变化的实质，函数内容贯穿于中学数学教学的始终，而映射是函数的基础，关系又是映射的基础，运用高等数学中的关系定义来重新认识中学数学的函数，了解函数的本质：就是量与量之间的相依规律的抽象。认清了函数的内部实质，有助于教师了解所教学科，遇到问题时可以用更高的观点、理解来解决问题。中学数学所涉及的函数（映射）类型：数集到数集的函数，即数值是自变量的数值函数，这是中学数学主要的函数类型，所有的初等函数都是这一类型。数（有序数组）集到点集、点集到数（有序数组）集，如数轴上的点和实数对应，坐标轴上的点和有序实数对对应等。点集到点集的映射，如
7、几何变换（平移、旋转等）。几何图形映到数集，如几何量（长度、面积、体积等）。函数集到函数集的映射，如求导。中学数学关于函数的问题有：确定函数的定义域、值域，求函数值、极值等。研究函数性质，如奇偶性，单调性，周期性，凹凸性等。作函数图像研究函数的复合函数，反函数及其性质。求初等函数零点（解方程或方程组），不等式（组）的解集，解函数方程（以未知函数为未知元的方程或方程组）3高中函数教学研究3.1新课标对函数教学的要求同以往一样，普通高中课程标准仍将函数基础知识安排在高中起始年级，但内容要求和处理方式上都发生了比较大的变化。3.2函数内容处理的分析强调函数背景及其对本质的理解。无论是引入函数概念还是
8、函数的三类模型（指数函数、对数函数、幂函数）的学习，教材都从实例出发，进入新课程的学习。以往教材中将函数作为特殊的映射来处理，学生同时要接受“对应”“映射”“函数”这么多的概念，还要理清他们的思路是很困难的。而从实例背景出发，学生能经历抽象概括的过程，有利于学生对函数概念的建立。加强函数思想方法的应用。函数是刻画显示世界变化规律的数学模型，因此函数在现实生活中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出数学模型，又让抽象的概念有了实体的支撑。比如，新增加的内容“不同函数的增长模型”和“二分法”。前者通过比较不同增长模型的差异，理解不同函数模型。遇到简单问题，会选择恰当的模型来解决问题。后者充分体现了
9、函数与方程的联系，并提供了一种求方程近似根的方法。通过学习二分法，使学生有了将不同知识相结合起来的意识。3.3函数内容的编写函数的内容包括：函数概念及其性质，基本初等函数，函数与方程，函数模型及其应用。函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发，采用归纳式的教材组织形式引入。由于函数概念的抽象性，学生理解起来需要一定的时间，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。首先，在分析实例的共同特征的基础上概括出函数定义，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。然后以三类基本初等函数来巩固函数概念，从一般概念的认识到具体函数的学习。体现了“具体抽象具体”的过程，深化了函数概念的理
10、解。最好，从应用的角度提升对函数的理解。教材安排了函数的应用，包括二分法、不同函数增长模型的增长差异及建立数学模型解决问题。3.4函数内容的教学函数概念的教学是一个难点，教材选择了有一定代表性的实例，先用集合与对应的观点分析前两个实例，学生自主分析第三个实例，然后提出思考，引导学生归纳三个实例的共同属性，建立函数概念。在这样一个据图到抽象的过程中，让学生充分体验得出概念的过程，更能理解函数的内涵。函数的性质是研究函数的变化规律，这种规律最直观的获得来自于图像，比如图像的上升、下降就是单调性。问题在于如何帮助学生从几何直观上升到严格的数学的定义。同样的，二分法也要经历一个由直观认识到数学抽象的过
11、程。因此，就需要将直观到严格数学定义分为几次层次，为学生搭建认识的台阶，使他们逐步获得概念。比如介绍单调性时，首先给出一次函数、二次函数的图像，观察它们的图像特征，上升或下降；然后用问题“如何描述函数图象的上升、下降呢？”引导学生用自然语言描述出图像特征；最后思考“如何用解析式描述随着x的增大，相应的函数值随着减小，”，将自然语言的描述转化成数学符号语言的描述，并一般化得到单调性的数学定义。参考文献：1维林金等著，中小学数学的现代基础.上海科学技术出版社,19872张劲松.论“高观点下的初等数学”及其在新课标中的体现J.数学教学研究，20083张奠宙 宋乃庆主编，数学教育概论M.北京：高等教育出版社，20044胡炳生等编.现代数学观点下的中学数学M.北京：高等教育出版社，20045倪政勇等主编.高中数学能力的培养与评估.华中师范大学出版社，1988
