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1、几何意义及经典试题中考要求内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲板块一：绝对值几何意义当时，此时是的零点值零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离【例1】 （2级）的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； （，）； 的几何意
2、义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则 ； 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 当时，则 【解析】 ，原点；，或；，或；【例2】 （4级）已知是实数，求的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点，使点到点，点和点的距离之和最小，显然当时，原式的最小值为【例3】 （4级）已知是实数，求的最小值【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点，使到点，点，点和点的距离和最小，显然当点在点和点之间（包括点和点）时，原式的值最小为【例4】 （6级）设是常数（是大于的整数
3、），且，是任意实数，试探索求的最小值的一般方法【解析】 根据题意，结合数轴，不难得到：当为奇数时，即当（为正整数）时，点应取在点处，原式的值最小，最小值为当为偶数（是正整数）时，应取点和点之间的任意位置，原式的值最小，最小值为【例5】 （8级）的最小值为 【解析】 当时，取到最小值：点评：若，当时，取得最小值若，当满足时，取得最小值【巩固】 （8级）试求的值【解析】 联想到绝对值的几何意义：即表示数轴上数的对应点与数的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现，当时，它有最小值，对于，当时，最小值为，猜想当时，原式有最小值最小值为【巩固】 （6级）(2000年郑州市中
4、考题)设，求当取何值时的最小值【解析】 实际表示到三点的距离和，画图可知当时，原式有最小值为【巩固】 （6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若、是个不同的正整数，取值于，记，则的最小值是 【解析】 利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性： 利用绝对值的几何意义在数轴上表示出来，从开始又回到，我们可以看成是一个圈，故最小值为，如下图所示，即使重叠路程最少【例6】 （6级）（选讲）正数使得关于的代数式的最小值是，那么的值为 【解析】 如果，那么当时，小于与已知条件矛盾所以，那么算式的几何意义是点到、的个距离之和，当时取最小值，因此令可得，解得【巩固】 （6级）（第七届“走进美妙的数学
5、花园”）的最小值为，则的取值范围是 【解析】 最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为、，故是这四个数中最小的，即且且，所以【例7】 （6级）（第届希望杯培训试题）已知代数式，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）A ， B ， C ， D ，【解析】 根据可得，所以选择C【巩固】 （6级）是否存在有理数，使？是否存在整数，使？如果存在，求出所有整数，如果不存在，请说明理由【解析】 不存在【巩固】 （6级）（第届希望杯培训试题）不等式的整数解有 个【解析】 可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，的整数解表示数轴上到和的距离之和小于的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有、共六
6、个【例8】 （8级）一共有多少个整数适合不等式.【解析】 零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑： （1）当时，原不等式变形为：，进而得：，即，共有4000个整数适合；（2）当时，原不等式变形为：，而恒成立，所以又有2000个整数适合.（3）当时，原不等式变形为，即，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式.【例9】 （8级）已知，设，求的最大值和最小值【解析】 由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为所以，所以，同理可得因为，所以，所以因为，所以，所以，所以即与同向相加得化简的表达式：求的取值范围：因为，所以因为，所以所以所以当时，最大值为当时，最小值为【例10】
7、 （8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数在数轴上的对应点分别为，如果，那么，的位置关系是【解析】 由绝对值的几何意义知, 表示点与点之间的距离；表示点与点之间的距离；表示点与点之间的距离；当点位于点与点之间（包括，两点）时,取得最小值，为由题设知，相等，以，不重合，故点位于点与点之间(包括,两点)【巩固】 （4级）有理数、各自对应着数轴上、四个点，且（1）比，、都大；（2）；（3）是、中第二大的数.则点、从左到右依次是 【解析】 、.【巩固】 （6级）（第届希望杯试）如右图所示，若的绝对值是的绝对值的倍，则数轴的原点在 点（填“”“”“”或“”）【解析】 因为的绝对值是的绝对值的倍，且
8、，当时，由，得原点的坐标在点处；当时，由，得原点的坐标在点处；当时，由，满足条件的点不存在；综上，知坐标原点在或【巩固】 （6级）（年北京市中学生数学竞赛）（第届希望杯培训试题）如果，求的值【解析】 （法1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发根据，我们可以得到、三点在数轴上从左到右依次是、或、，我们会发现在这两种情况下，同号，所以（法2）：我们发现所以、同号，所以有（两式相加可得）或（两式相加可得），综合上述两种情况，我们可以得到【巩固】 （8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）已知、都是整数，且，则【解析】 法1：四个非负整数和为，
9、只可能为、或 讨论： 当，满足条件，； 当，满足条件，； 若，即且，故，这与矛盾所以，或法2：我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形，那么题目相当于：（渗入换元思想）已知、都是整数，且，则 因为、都是整数，所以可能为、（以下过程教师均须借助数轴讲解）若，那么、均为，但，、为，得为，矛盾，所以；若，当、相同，、相同时，成立；若，当、相同时，成立；所以或【例11】 （8级）（年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为的点称为标点，一只青蛙从点出发，经过次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【解析】 设青蛙依次到达的点为，整个跳过的路径长度为
10、故青蛙跳过的路径的最大长度为【例12】 （6级）如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、到城市的距离分别为、千米，而村庄正好是的中点现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄是的中点，所以村庄到城市的距离为千米，即村庄在村庄之间， 个村庄依次排列为设活动中心到城市的距离为千米，各村到活动中心的距离之和为千米，则：因为，所以当时有最小值，所以活动中心应当建在 处【巩固】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，个工厂，分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各
11、工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？【解析】 每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在点最好若在处再建一个工厂，则车站建在处、处或它们之间的任何地方都是最佳的【例13】 （6级）（山东省烟台中考）先阅读下面的材料，然后回
12、答问题：在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于到的距离。如图乙，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把放在别处，例如处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到的这一段，这是多出来的，因此放在处是最佳选择不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方，有台机床，应设在第台位置问题：有台机床时，
13、应设在何处？问题：根据问题的结论，求的最小值【解析】 当为偶数时，应设在第台和台之间任何地方；当为奇数时，应设在第台的位置根据绝对值的几何意义，求的最小值，就是在数轴上找出表示的点，使它到表示，各点的距离之和最小，根据问题的结论，当时，原式的值最小，最小值是板块二：绝对值其它重要性质的应用（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；（4）；（5）.【例14】 （2级）填空： 若，则，满足的关系 若，则，满足的关系 已知、是有理数，且，则 【解析】 且由，或，故【例15】 （6级）（第14届“希望杯”）已知、是有理数， 且，则 【解析】 ，【巩固】 （6级）（第届希望杯试）If ,and ,then 【解析】 ，所以,，.【例16】 （6级）（北京市初中一年级“迎春杯”数学竞赛题）如果那么。【解析】 由知，从而即.从而代入得则.【巩固】 （8级）（第届希望
