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1、大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。 这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量的整数倍 ,2 ,3e ,48，,n对频率为V的谐振子，最小能量为：8 = h v2. 波粒二象性波粒二象性(wave-particle duality)是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象 性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒 子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的物质”。1905年，爱因斯坦提出了光
2、 电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布 罗意提出物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子 也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。,h德布罗意公式E = mc 2 = hv p = mv =力3. 波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足 薛定格波动方程a ,、方 2 ,、，、八法 W 顷，t) + V 2 - V 顷加顷,t) = 0at2m粒子的波动性可以用波函数来表示，/=二)二山/3】.二) 其中，振幅表示波动在空间一点(x必z)上的
3、强弱。所以/(私31)1应 该表示 粒子出现在点(xyz)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数 称为概率波。自由粒子的波函数中=Wk = A expj (D - f - Et)波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设c是一个常数，则w 3, y,乙)和 叩3, y, z对粒子在点仅工) 附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数C = eia，则w 3, y, z)和e/ow 3, y, z)对粒子在点(初工)附 件出现概率的描述是相同的。Iw 3,y,z) l2表示粒子出现在点(xz)附近的概率。Iw 3, y,
4、z) I2 AxAyAz表示点(x况z)处的体积元At = AxAyAz中找到粒子的概 率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件j|w (x, y, z) I2dxdydz = 15. 力学量的平均值既然lw(r)|2=叩(x,y,z)|2表示 粒子出现在点r = (x,y,z)附件的概率，那么粒子 坐标的平均值，例如x的平均值x，由概率论，有 X =+8叩(r) |2 xd3r =f+sV*(。州(r)d3r,-sd 3r = dxdydz-s又如，势能V是r的函数：V(r)，其平均值由概率论，可表示为V =-s3 rV =-s再如，动量 的平
5、均值为：p = j+sw*(r)p(r(r)d3r-s为什么不能写成p*(p洌(p)d3p,-s因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为p = Tw *(r )Sw (r )d3r-s其中6三-i沱为动量日的算符6. 算符量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算.、一如动量算付p - -1力V能量算符E = i方&三Eot动能算符T =-胃V2动能平均值T = Tw*(f)TW(f)d3r2m-sC八 +s .二 .角动量算符l = F x p 角动量平均值r =w*(f)lw(r)d 3r-sih _Lw(f
6、，t)=生 v2 + v(f,t)M(f,t)薛定谔方程Ot2m算符H =_生V2 + V(r)，被称为哈密顿算符，7.定态2m数学中，形如Af = af的方程，称为本征方程。其中、方程-寻V2 + V(顷e(。= EWe(r) Hwe(。= Ev算)符,称为能本征征数, a 本征值W E(f)被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。当E为确定值，v(r,t) =v E(f)exp(- h Et)拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征:粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改 变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8. 量子态叠加原理但一般情况下，
7、粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其 中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即 W(X)= Z Cy n(x)，n| c |2表示在态w(x)中发现粒子处于态W (x),具有能量En的概率9. 宇称若势函数V(x)=V(-x)，若W(x)是能量本征方程对于能量本征值E的解，抑(-X)也是能量本征方程对于能量本征值E的解定义空间反演算符尸为:印(x) =W (-x)如果 PW (x) =W (-x) =W (x)或 PW (x) =W (-x)=瑚(x)，称W(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称P COS(x) = COS(-x) =cos( x
8、)奇宇称P sin( x) = sin(-x) = - sin( x)注意：一般的函数没有确定的宇称设W (x)是能量本征方程对应于能量本征值E的解，如果V(x) = V(-x),若W (x)无简并，则W (x)具有确定的宇称。10. 束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11. 一维谐振子的能量本征值E = E = (n +1/2) o , n = 0,1,2,.12. 隧穿效应？量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现 象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总
9、能量低于势垒是不能实现反应的。 但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒， 只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能 量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势 垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透 barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。13. 算符对易式. . WW 八.一般说来，算符之积不满足交换律，即AB卫BA，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式VA和
10、B,设A, B三AB - BA，通常& B。0坐标对易关系以，p =诚=|功，以=?以,p = x,y,zP ap I 0,以。角动量的对易式lx，x=Aly ,x=Alz，x=0, lx，y = i方z, 口x，z = -ihy, -i方z, ly ,y = 0, ly ,z = i方x, i方y, lz,y = -i方x, ly,z = 0,l ,p = 0, l ,P : = i方P , l ,P = -i方P , x xx yz x zyl , P = -i 方P , l ,P = 0, l ,P = i方P , yxz yyyzxl , P = i 方P , l ,P = -i 方P
11、 , l ,P = 0, zxy zyx yzl ,l = 0, l ,l : = 0, l ,l = 0,x xy yz zA A八八 A八A 八八l ,l: = Ml, l ,l = Ml, l , l = Mlxyz yzx zxy令l 2 = l 2 + l 2 + l 2,有尤 y z12,七=0/2, l = 0, /2, / = 0,尤y14. 厄密算符平均值的性质-八.人 八. 八 .、一 人人人VA,则4的共轭转置算符4*称为A的厄密、共轭算付，记为A +,即A+=A*。先转置，再共轭。j &w * A 中=j &里A v体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状
12、态下平均值为实的算符必为厄 米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数v =v(r,t)描写。2、 波函数的模方lv (r,t)12表示t时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程d 、,方 2 、/、 八 ,、Ih v (r, t) = (V2 + V )v (r, t) = Hv (r, t),ct2mH =-旦 V2 + V(r,t) T哈密顿算符2m16. 算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如Af = af的方程，称为
13、本征方程。其中A 算符,f 本征函数,a T本征值一 人 一 一，,一满足刨=刨的W和人不止一组，_. ，一，. ,一 _八可能有组，因此刨=A Wn n n. . 一 一 人-此式称为A的本征方程，A称为的一个本征值，w称为的一个本征态。17.不确定度关系的严格表达w(x) = anW n，其中，=Jw *wdr3nWn和是算符A的本征态与本征值，如果VAn，都是不简并的，则w能构成一组正交归 完备态矢，系统的任何状态W均可展开如下：18. 两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即A, B = 019. 力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定
14、其本征 态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由尸的本征值不能确定体 系状态，必再加上匕的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态， 我们定义力学量完全集。Xb-定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函数集，记为；/；， &可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。20. 力学量完全集共同本征态的性质设有一组彼此对易的厄密算符冒（丸无矣），它们 拥有共同本征函数以，若构成正交归一完备集， 使得任给体系的一个量子态”总有w = 口则 k称（&,&,&,）构成体系的一组力学量完全集O若能级简并可以寻找另外的算符A,若H,A = O,则有 可能用A的本征值对（有成）的共同本征函数“需 进行分类，从而使同一个厅对应的简并态：1： 间的正交性得至。保证。.:-:21. 守恒量对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态 （定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体 系的一个守恒量。22. 狄拉克符号，内积及其
