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1、-有限域的构造对于这一节，我们将要证明三个构造定理：定理1 设F是一个特征p的有限域，则F的元素个数一定是p的一个幂。定理2 设p是任一素数而n是任一正整数，则总存在着一个恰含个元素的有限域。定理3 设F是一个有限域，它含有一个q个元素的有限域作为子域，则F的元素个数一定是q的一个幂。证明：先将改记为.如果,则就是恰含有个元素的有限域，因此定理成立。如果，则就含有一个元素，而.令.下面我们来证明：如果，则一定有.因为从上式可以推出.假设，则有.这与相矛盾。所以有.于是有.则恰含个两两不同的元素。如果,则就是恰含个元素的有限域，此时定理成立。如果，则就会有一个元素，而.令.假设.则.假设，则有.
2、这与相矛盾。故有.于是有.由此知，。像这样一直讨论下去。如果的元素个数是，而，则就有的一串子集，其中而恰含个两两不同的元素。如果，则就含有一个元素，而.令依照上面有恰含个两两不同的元素。但是是的一个子集，而的元素个数，所以对于恰含个两两不同的元素是不可能的。因此一定有，即恰含个元素。下面要证明定理1，设是特征的有限域，则一定是素数，而的素域就是恰含个元素的有限域。所以要证明定理1只需在定理3中取，就可以证明。下面要证明定理2则需要一些多项式的知识及引理。定理4(带余除法) 设和是中的两个多项式，.则存在唯一的一对多项式，使得。令推论5设和都是中的多项式，。则定理6 设是中的一个非零多项式。如果
3、和互素，则没有重因式。推论7 设是中的一个多项式，。则是的根当且仅当。如果是中的一个n次多项式。则在中最多有n个两两不同的根。定理8 设是中的一个非零多项式，设和是中的任意两个多项式。则当且仅当例1 设是域，是中的一个次不可约多项式。我们用表示中所有次数的多项式的集合，即(1)设。仿照是域时定义的加法运算和乘法运算来规定与的和()与积：和是域的证明一样。可验证对于规定的加法运算和乘法运算是一个域。在这里我要说的是，中的零元素0就是中的零元素，中的单位元素就是中的单位元素。值得注意的是中的元素都是中的元素，它们是中的零元素和零次多项式。进一步，对于中的任意两个元素的和，将它们看作中的元素进展加法
4、运算和乘法运算得到的和与积，与将它们看作中的元素进展加法运算和乘法运算得到的和与积是一样的，即因此，是的一个子域。特别地，如果是中的一个一次多项式，则显然有.进一步，假设我们记则在中，有这就是说中的元素是上未定元的不可约多项式的根。因此我们也可以说是添加中的一个不可约多项式的根到上而得到的域。如果是含有个元素的有限域，则1式中的可以是中这个元素中的任何一个，因此是个元素的有限域。特别地，假设取，其中是一个给定的素数，而是中的一个次不可约多项式，则就恰含有个元素的有限域，而是它的一个子域。因此，在中也有。下面要证明定理2，我们只需证明：对于任一素数和任一正整数，中总有一个次不可约多项式即可。而事
5、实上，假设是中的一个次不可约多项式，则在例1中构造的域就是一个个元素的有限域。然而，我们要证明中总有次不可约多项式存在，又要做一些准备。引理9 设是个有限域，是的一个含有个元素的子域，则中每个元素都适合条件。进一步，假设中的元素适合，则。证明：根据任意有限域的乘法群都是循环群这一定理，知道是阶循环群。设是它的一个生成元，则就是的全部个元素。然而有在上式两边同时乘以，就有.这就是说，中人一元素包含0都适合条件这样的话，有多项式就以中的个元素作为它的全部根。将看作上的多项式，它在中最多有个因此如果是这个多项式的根，即，则一定有。引理10设是个元素的有限域，而是上的一个次不可约多项式，则一定有证明：
6、令在例1中已经规定了的加法运算和乘法运算，即于任意的，有同时也证明了按上述规定的加法和乘法运算是一个域，而且是一个含个元素的域。根据引理9，中的元素都适合条件，即.特别地，对于，在中有，而这可以转化为即。由推论5有因此有.这就是说。引理11设是个元素的有限域，而是上的一个次不可约多项式，如果，则一定有不能整除。证明：运用反证法。设。这就是说，。因此.因为，所以是个元素的有限域。根据定理1，一定是的特征的一个幂，也是的特征的一个幂。于是对于中任意一个元素，都有这就是说，的个元素都适合多项式.但是，根据推论7这是不可能的。故不能整除。引理12 设是正整数，而则证明：对作归纳法。当时，结论成立。设，
7、则由。但是而，所以根据归纳假设，有于是有引理13设是正整数，而则证明：仿照引理12的证明，可证明.根据引理12 有因此引理14设是个元素的有限域，而是上的一个次不可约多项式。则当且仅当.证明：充分性：根据引理10，要证，只需证明即可。设，则根据引理13有于是由引理10得到则有，故有.必要性：设，由于则令.根据引理13得到，再根据引理11，有。但是.故有。于是有。引理15设是个元素的有限域.则对于任意正整数，都没有重因式。证明：设则有设的特征为。由定理1，是的一个幂。令则。所以对于来说只有因式和，而不能整除，所以.于是根据定理6，知没有重因式。然而不是的因式，因此也没有重因式。定理16 设是一个个元素的有限域，是一个正整数，而是的所有两两不同的素因数。用表示中所有次首一不可约多项式的乘积，则(2)其中分别由是偶数或奇数来确定的。再用表示中次首一不可约多项式的个数，则(3)推论17 .证明：由于，要证只要证即可。令其中是两两不同的素数。则(3)式中右边除了最后一项之外，其他的项都是的倍数。因此不能被所整除。故.于是有。所以。定理2的证明当是任一素数，是任一正整数时，根据推论17，我们有，即个元素的有限域上总有次首一不可约多项式存在。因此由例1，总有个元素的有限域存在。. z.
