古典概型和几何概型

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1、一、古典概型1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件2）基本事件的特点： 任何两个基本事件是互斥的； 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型4）基本事件的探索方法： 列举法：此法适用于较简单的实验 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n个不同的球， 现从中一次模球，每次摸一

2、只，则有两种摸球的方法： 有放回的抽样 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然 对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去 无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每 次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次二、古典概型计算公式1）如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一1个基本事件的概率都是一；n2）如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）= m.n3）事件A与事件B是互斥事件P（AUB）= P（A）+ P（B）4 ） 事 件 A

3、与 事 件 B 可 以 是 互 斥 事 件 ， 也 可 以 不 是 互 斥 事 件 P（AUB）= P（A ）+ P（B）-P（AB ）.古典概型注意： 列举法：适合于较简单的试验 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，（x, y）可以看成是有序的，如（1,2 ）与（2,1）不同；有时也可以看成是无序的，如（1,2 ）与实用标准文档G,l）相同.三、几何概型事件A理解为区域0的某一子区域A , A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型四、几何概型的计算L11）几何概型中，事件A的概率定义

4、为P （A）二A,其中卩表示区域0的几何度量，卩卩0A0表示区域A的几何度量.2）两种类型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时 面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点 的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决五、几何概型具备以下两个特征：1 ）无限性：即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何 区域来表示；2）等可能性：即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等一、古典概型古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事

5、件的个数与基本事件的总个数的比值题干】甲、乙、丙、丁 4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）ABCD【答案】D.1 1 1 1 【解析】甲、乙在同一组：P =二甲、乙不在同一组，但相遇的概率：P =牙+三=.1 32 3 6 2【点评】【题干】|有十张卡片，分别写有A、B、C、D、E和a、b、c、d、e ,（1）从中任意抽取一张，求抽出的一张是大写字母的概率；求抽出的一张是A或a的 概率；(2) 若从中抽出两张，求抽出的两张都是大写字母的概率；求抽出的两张不是同一个 字母的概率；【答案】【解析】

6、【点评】【题干】袋子中装有编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球，从中任意摸出2 个球( 1 )写出所有不同的结果；(2) 求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3) 求至少摸出1个黑球的概率【答案】(1) ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de ；(2) 0.6 ；(3) 0.7 .解析】 (1) ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de .2)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸 出1个黑球和1红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac,ad,ae,be,bd,be ,共66个基本事

7、件，所以P(A)二10二0.6.(3)试验发生包含的事件共有10个，记“至少摸出1个黑球”为事件B，则B包含的基7本事件为ab,ae,ad,ae,be,bd,be，共7个基本事件，所以P(B)= 0.7.【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数n，求出具体时间包含的基本事件数m，根 据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型(长度) 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解cosx的值介于0到-之间的概率为兀 兀【题干】在区间 -込，-上随机

8、取一个数x,ABCD答案】 A【解析】 02X G 2k兀 + 殳,2k兀 + 33丿兀兀22时，. 在区间上随机取一个数X , cos x的值介于0到22兀31之间的概率P二丄兀 3【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()1A.-4【答案】 B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心 O 向靠的最近的平行线引垂线 OM ，垂足为 -313M ；线段OM长度的取值范围就是0,2，只有当1 OM 10,解得6 x 10，所以，概率为10 - 610点评】【题干】在长为18 cm的线段A

9、B上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()ABCD【答案】 D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型因为正方形的面积介于36 m2与81 m2之间， 座椅正方形的边长介于 6 cm 到9 cm 之间,即线段 AM 介于6 cm 到9 cm 之间,所以 31AM的活动范围长度为：3.由几何概型的概率公式可得苻二三.18 6点评】 【题干】某人向一个半径为6 的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2 的概率为（）A1C4D【答案】B解析】整个靶子是如图所示的大圆，而距离靶心

10、距离小于2 用图中的小圆所示【题干】两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A.1B.-312C.D.431【答案】3 -【解析】设事件A为“灯与两端距离都大于2 m ”，根据题意，事件A对应的长度为2 m的部分，因此，事件A发生的概率P（A）=； = .63【点评】 三、二维情形的几何概型（面积）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表 示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图 形中画出事件A发生的区域，利用公式可求.【题干】如图，ZAOB = 60 OA

11、= 2, OB = 5，在线段OB上任取一点C，试求：（1） AAOC为钝角三角形的概率；（2） AAOC为锐角三角形的概率.【答案】（1） 0.4 （2） 0.6【解析】如图，由平面几何知识：当AD丄OB时，OD = 1 ；当OA丄AE时，OE = 4, BE 二 1.（1）当且仅当点C在线段OD或BE上时，AAOC为钝角三角形，记“ AAOC为钝角三角形”为事件M，则P（M ）= = 0.4，即AAOC为钝角三角形的概率为OB 50.4（2）当且仅当点C在线段DE上时，AAOC为锐角三角形，记“ AAOC为锐角三角形”DE 3为事件N，则p（N）=三=0.6，即AAOC为锐角三角形的概率为

12、0.6 .OB 5【点评】AAOC为直角三角形的概率等于0，但直角三角形AAOC是存在的，因此概率 为0 的事件不一定是不可能事件【题干】已知如图所示的矩形，长为 12 ，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数 得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为S 600【解析】设图中阴影部分的面积为S，由题意可得=，解得S = 36 .12 x 51000【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后 到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校 门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的

13、车回家，问小明能乘到他爸的车的概率【答案】【解析】【点评】【题干】在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(x，y)满足 x 2 + y 2 0)与圆O: x2 + y2二5相交所截得的弦长为Ji?，求y x + b的概率.【答案】14兀-3耳3(1) ； (2)712兀【解析】(1 )若x e Z，y e Z，则点M的个数共有21个，列举如下：(2, 1)，(2,0)，(2,1)， (1,2)， (1,1)， (1,0)， (1,1)， (1,2)， (0,2)， (0,1)(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1, 2)，(1, 1) ，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2, 1) ，(2,0)(2,1)时，点M位于第四象限当点M的坐标为(1,一2), (1,一1),(2,-1)时，点M位于第四象限故点M位于第四象限的概率为7.(2)由已知可知区域W的面积是5兀.因为直线/: y = x + b与圆O: x2 + y2 = 5的弦长为 x + b的点构成的区域的面积为S 二 1 x 2 5 x sin2 “ 空仝2 3312所以 y x + b的概率为20 兀-15.3_12_ 4 兀-33【题干】如图，ZAOB = 60。