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1、专题十 立体几何中的向量方法 工三年考情-纵横研究:卷I卷n卷川2018线面角的正弦值的求解T18(2)二面角、线面角的正弦值的求解 T20 (2)二面角的正弦值的求解T19(2)2017二面角的余弦值的求解T18(2)二面角的余弦值的求解T19(2)二面角的余弦值的求解T19(2)2016二面角的余弦值的求解T18(2)二面角的正弦值的求解T19(2)线面角的正弦值的求解T19(2)纵向把握趋势全国卷3年3年考，涉及直线与平面所成角、 二面角的求解，且都在解答题中 的第问出现，难度适中.预计2019年仍会以解答题的形式考查二面角或线 面角的求法.横向把握重点高考对此部分的命题较为稳定，一般为
2、解答题，多出现在第18或19题的第(2)问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难 度中等偏上.考法一 利用空间向量证明平行与垂直设直线I的方向向量为a= (ai, bi,ci),平面a ,卩的法向量分别为u= (a2,b2,C2),v= (a3, bs, C3).(1) 线面平行：I / a ? a丄 u? a u= 0? aia2+ bib2+ CiC2= 0.(2) 线面垂直：I 丄 a? a/ u? a= ku? ai = ka2, bi = kb2, ci = kC2.(3) 面面平行：a / 3 ? u / v? u= kv? a?= kas, b2= kbs
3、, C2= kcs.(4) 面面垂直：a 丄 3?u丄v? u v = 0? a2as + b2bs+ C2Cs= 0.典例 如图，在四棱锥 P-ABCDK PA丄底面 ABCD ADLAB AB/ DC AD= DC= AP=2, AB= 1,点E为棱PC的中点.求证:(1) BEL DC(2) BE/ 平面 PAD(3) 平面PCDL平面PAD.破题思路第问求什么想什么要证BE! DC想到证BE丄D(C,即 E Dc= 0给什么用什么由PA丄底面ABCD ADL AB可知AP, AB AD三条直线两两互相垂 直，可用来建立空间直角坐标系差什么找什么建立坐标系后，要证 be Dc= 0,缺少
4、Be , De的坐标，根据 所建坐标系求出 B, E, D, C点的坐标即可第问求什么想什么要证BE/平面PAD想到证 BE与平面 PAD的法向量垂直差什么需要求BE及平面PAD法向量的坐标，可根据第(1)问建立的空间找什么直角坐标系求解第问规范解答依题意知，AB AD AP两两垂直，故以点 A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0) , Q2,2 , 0) , D(0,2,0),R0,0,2) 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).(1)因为 be =(0,1,1),DC= (2,0,0)，故BE DC=0.所以 be求什么要证平面PCDL平面PAD想到证平面PCD勺法向
5、量与平面PAD勺法向量想什么垂直差什么缺少两个平面的法向量，可利用(1)中所建的空间直角坐标系求解找什么丄DC易知 AB =(1,0,0)为平面PAD勺法向量, 而 BE AB = (0,1,1) (1,0,0) = 0，所以 BE! AB又BE?平面PAD所以BE/平面PA D. PD= (0,2 , - 2) , DC= (2,0,0),设平面PCD的法向量为n= (x, y, z),PD = 0,-DC = 0,2y 2z = 0,2x= 0,不妨令y = 1，可得n= (0,1,1)为平面PCD勺一个法向量.因为平面PAD的一个法向量 AB = (1,0,0), 所以 n AB = (
6、0,1,1) (1,0,0) = 0，所以 n丄 AB.所以平面PCDL平面PAD.题后悟通利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1) 建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2) 建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.(3) 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系.(4) 根据运算结果解释相关问题.对点训练如图，在直三棱柱 ABGABC中，/ ABC= 90, BC= 2, CC= 4,点 E在线段BB上，且EB= 1, D, F, G分别为CC, CB, C1A1的中点求 证：(1)
7、BD丄平面ABD平面EGF/平面ABD.证明： 根据题意，以B为坐标原点，BA BC, BB所在的直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(0,0,0), D0,2 , 2),B(0,0,4), C(0,2,4),设 BA= a,则 A(a,0,0),所以 -A =( a, 0,0), bd =(0,2,2),=(0,22),所以 aD ba=o,BD BD = 0 + 4-4 = 0,即BD丄BA BD丄BD.又 BAG BD- B, BA?平面 ABD BD?平面 ABD所以BD丄平面ABD.a(2)由 知，曰0,0,3), G2 , 1 , 4 , F(0,1,4
8、),a则 EG = 2 , 1, 1 , EF = (0,1,1),a aa a所以 BD EG = 0+ 2 2= 0 , BD EF = 0 + 2 2 = 0 ,即BD丄EG BD丄EF又 EGn EF= E, E(?平面 EGF EF?平面 EGF因此BD丄平面EGF结合(1)可知平面EGF/平面ABD.考法二 利用空间向量求空间角1 向量法求异面直线所成的角若异面直线a , b的方向向量分别为 a , b,异面直线所成的角为0 ,则cos 0 = |cos|a b |a , b| =.1 | a | b |2 .向量法求线面所成的角求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线面
9、所成的角为 0，则sin 0 = |cosn ,_ |n a |a| 一.1 | n | a |3 .向量法求二面角求出二面角a -I-卩的两个半平面a与卩的法向量n1 , n2,若二面角a-l-卩所成的 角0为锐角，贝y cos 0 = |cos 51 , n2| =也“ n| ;若二面角 a -1 -卩所成的角 0为| n 1| n 2|厲压|钝角，贝U cos 0 = |cos n1 , n2| =.| ni伯题型策略(一)|求异面直线所成的角例1 (2015 全国卷I )如图，四边形 ABCD为菱形，/ AB(= 120 , E, F是平面ABC同一侧的两点，BE丄平面ABCD DF丄
10、平面 ABCD BE= 2DF, AE! EC证明：平面 AECL平面AFQ(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.破题思路第问求什么想什么证明平面 AECL平面AFC想到求二面角 E-AGF的平面角为直角或 证明平面 AEC勺法向量与平面 AFC勺法向量垂直给什么用什么四边形ABCD菱形，则连接 BD使BDn AC= Q有ACL BD且QA =QC QB= QD.由 EB丄平面 ABC FDL平面 ABC AB= BC= CD= AD 可证 EA= ECFA= FC即厶EACH FAC匀为等腰三角形差什么找什么要证二面角的平面角为直角， 需找出二面角的平面角， 连接EQ FQ 可知/ EQ
11、F即为二面角的平面角；若利用坐标系求解，此时可以 Q 为坐标原点，以 QB和QC分别为x轴，y轴建系第问求什么想什么 求直线AE与直线CF所成角的余弦值，想到求 AE与CF的夹角的余弦值给什么用什么由BD与 AC垂直平分，且 BE!平面 ABCD可以QB与QC分别为x轴，y轴 建立空间直角坐标系差什么找什么 差各线段的具体长度， 故可令QB= 1,进而求出各点坐标，AE和CF的坐标规范解答(1)证明：连接 BD设BDn AC于点0,连接EO FQ EF在菱形ABC呼，不妨设 OB=1.由/ ABC= 120 可得 AQ= QC= 3.由 BEL平面 ABCD AB= BC可知 AE= EC 故
12、 EOL AC由 DFL平面 ABCD AD= DC可知 AF= FC,故 FCL AC所以二面角E-ACF的平面角为/ EOF又 AEL EC,所以 EO=3.在 Rt EBC中，可得 BE= 2 故 DIr2在Rt FDC中，可得FO162 在直角梯形BDFE中 由BD= 2, BE= -2, DP#,可得EF=字.从而 EO+ FO= EF2,所以 ECL FO所以二面角E-ACF为直角,所以平面AECL平面AFC (2)以O为坐标原点，分别以OB, OC的方向为x轴，y轴正方向，| OB|为单位长度,建立空间直角坐标系 O xyz.由可得A(0，- .3, 0) ,E(1,0 ,；2)
13、, F 1 , 0,-22,C(0 ,：3, 0),所以 AE = (1 ,3,2) , CF = 1， .3 . 斗=AE CF故 cos AE , CF= | AE| CF|所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为题后悟通思路解决第(1)问时，不能正确作出二面角的平面角或虽然作出，但不能正确求解而受阻造成问题无法求解或求解错误，解决第(2)问时，不能建立恰当的空间直角坐标分析系，是造成不能解决问题的常见障碍技法求异面直线所成的角e，可以通过求两直线的方向向量的夹角0求得，即cos关键ne = |cos 01.要注意e的范围为o, $点拨对点训练1将边长为1的正方形AAOO及其内部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图，Ac长为, Ab长为, 的同侧.（1）求三棱锥C-OAB的体积；其中B与C在平面AAOO（2）求异面直线BC与AA所成的角的大小.i- SA OA B = 2OA OB sinvcoab=31OO SAOA1 B=3X1 x4解： Ab,詣，丄 aob=3,三棱锥C-OA B的体积为(2)以O为坐标原点，OA OO所在直线为则 A(0,1 ,0) , Ai(0,1,1 ) , B 宁,2, i , 時-2, o.AA = (0,0,1),y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系,ABC = (0， 1, 1),cosTAA ,
