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1、1.51.1.1.71.221.31.24.4.3.51.313.1.39.41 1.5-649.11.4.214.134.11.151.5.1证明：(1) ()若it(E)，存在d 0,使得Bd (x) E注意到x + x/n x( n ),故存在 N+,使得x + x/N d(x） 即x/( N/( 1 + N) E因此P(x) N/( 1 +N） 1,使得y =E因qnt(E）,故存在d ，使得Bd(q) E.令h =d （a- 1)a,h(x)，令w= (a - y )(a -),则| = | ( z -y)/(a -)| =|z - y |/(- ) | - a |/( - ) =
2、| - x |/(a - ) ah( - 1) = d.故wBd （q) E故z= （( - 1)w y)/a E，因此，Bh(x) E.因此xi（).(2） 因int（) ,故有l(it()） cl(E)下面证明相反的涉及关系若xcl（E),则e ,存在yE，使得| x - y| e/.因n/(n + 1） y(n ).故存在N N，使得|y/(+ )- y | e/2.令z = Ny( + )，则zE,且(z) N/(N + 1) ，由(1)知zint(E）.而|z- | | z - y | | - x| 0，故x的各分量也非负但不全为零xC,设f (x)= (Ax)( 1 i n(x）i
3、 ),则f ()C容易验证 : C还是持续的由Broue不动点定理,存在f的不动点0C即f (x0) 0,也就是（A0)/(1 i n (Ax0)i ) = x0令l = 1 i n (Ax0)i，则有x l x.1.5.证明:设B uC0, | 0, 1 u(x）x= 1，u(x) 0 ，则B是C0, 1中闭凸集.设max (x， y)0, 0, 1 K(x, y) = M,in （x， )0, 10,1 (x, y) = m,0,1 (0,1 K(x,y)d) dx = N,mx x0,1 0，1K(x，)dy|=P.令( u)(x) =(0， K(,） u(y) dy)/(0, 1 （0
4、, K(，） u(y) dy) dx ）则0,(S u)(x) x=1,(x) 0；即SuB因此是从B到B内的映射.u, B,|0, (x, ） u(y) d - 0, (x, y) v（y)d |= | 0, 1 K(x, y） （u(y）- v(y) dy | = max x0, 1 | 0， K(x, y） (u（y) - v（y)） dy |M | u- v |;因此映射u#0, K(x, ) u()d在B上持续类似地，映射u # , 1 (0, 1K(x, y)u() d） x也在上持续.因此，S在B上持续下面证明S（B）列紧一方面，证明(B)是一致有界集.uB,|S u| | (0
5、, 1 (x, y) u(y)d )/(0, 1 （0, K(x, y）（y)dy）x)| = max 0， 1 |0, 1K(, ） u(y）dy |/（0, 1 (0, (x， y) u(y) dy) dx ) （ , 1 u() dy |/( ,1 (0, 1u()d) x) = M/m，故S(B)是一致有界集另一方面,证明S(B)等度持续u,t1,t20， 1，|( u)（t) - (S u)(t2) | = 0, 1 K(t, y)u(y） dy - 0,1 K(t2，) u（y)d |/(0, (0,1 K(x, y) u(）y) ) 0,1| K（t1, ） - K(, y) |
6、u(y) y /(m0, 1 (0， 1（y） dy)d) （m） max y, 1 |(t, ） - K(t2， )|由K(x， )在, , 1上的一致持续性，e ,存在d 0,使得(1, y1), (x, y)0，1,只要| (x, y) -(x2, 2) | d,就有 K(x， y1)- (x2，y2) | m e故只要| 1 -t2 | d时，0,1，均有 K(1, y) - K(2， y） m e此时，| ( u）(t1)- ( u)(t2） | (1/） ax 0, 1 | K(t, y) -(t, y)| (1/) m e e.故S()是等度持续的.因此，S()是列紧集.根据Sc
7、haudr不动点定理，在C上有不动点0.令l (0，1 (0,1 K(,y) u0（y) dy) d则（S )(x） = (0, K(x, y) u(） d）/l= (T 0)()/l因此（T 0)(x)l = u0()，u0 l u0显然上述的l和u满足题目的规定1.1(极化恒等式)证明：x, ,q(x + y) - q(x - y) = a( + y, y) -a( - , x - y）=(a(x， ） a(， ） + a(y, x） +（， y）) - (a（x, x）- a(x, y) - a(,） +a(y, y)=2 (a(x, y) + (y, x）)，将iy替代上式中的y，有q
8、(x + iy）- （x-iy） = 2 (x, i y） + (iy, x）)= (-ia（x, ) +ia( y,x），将上式两边乘以，得到i q（x i ) -i q( - iy) 2 ( （x, y) - a( ,x）)，将它与第一式相加即可得到极化恒等式.16.2证明:若Ca, 中范数 |是可由某内积( , )诱导出的,则范数| 应满足平行四边形等式而事实上,Ca,中范数| |是不满足平行四边形等式的,因此,不能引进内积（ , )使其适合上述关系.范数| 是不满足平行四边形等式的具体例子如下:设f（x） =（x a)(ba)，g(x)= (b x）(b a),则| f | = | |
9、 | f + g| | f g | = 1，显然不满足平行四边形等式.6.3证明:xL20,T，若| x | =1,由Cauh-Scwrz不等式,有 0, T e - ( - t ) (t ) dt2 (0, T(e - （ T -t )）2dt) (0, （ x（t )2 t)= 0,T (e - （ T - t )2 dt e - T0, T e t dt (- e -T ）/2因此,该函数的函数值不超过M (1- e -2 )1/2.前面的不等号成为等号的充要条件是存在lR，使得x(t ) =l - （ T - t ).再注意| x | = 1,就有0, T (l - ( - t ）)2
10、 dt =1.解出l = (（- e -2T )2) - 1/2故当单位球面上的点(t ) = （(1- e - T )/) -1/2 - ( T- t)时，该函数达到其在单位球面上的最大值(1- e- T )2)121.6.4证明:若x,则N,(x， y) = 0而 N,故M,也有(x,) .因此 因此,N .6.51.66解：设偶函数集为E,奇函数集为.显然,每个奇函数都与正交.故奇函数集O fE ，注意到f总可分解为f = g + h,其中g是奇函数,h是偶函数因此有0 = （ f， )= ( + ， h) =( g,h) + （ h, h） ( h， h).故几乎到处为0即f g是奇函数因此有 E O这样就证明了偶函数集E的正交补E 是奇函数集O.1.6.7 证明:一方面直接验证,cR，S = e 2p x |nZ 是2c,c + 1中的一种正交集.再将其原则化，得到一种规范正交集S1 = jn（x） = de2p i nx | nZ.其中的dn = | e 2p i |(Z)，并且只与n有关，与c的选择无关(1) 当b a=1时,根据实分析结论有 q当b a 时,若L2a, b,且S ，我
