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1、第一部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反 A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（三）母子型（四）一线三等角型:（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展共享性线三等角的变形DAB pC一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCD中，AD/ BC,对角线 AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.2求证：OC OA OE .求证：（1） DB2 DE DA; DCE DAC .例 3:已知：如图，等腰 ABC中，AB= AC, ADBC于 D, C
2、G/ AB, BG分别交 AD、AC于 E、F.求证：BE2 EF EG .相关练习：21、如图，已知 AD为 ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证： FD FB FC .2、已知：AD是Rt ABC中/ A的平分线，/ C=90 , EF是AD的垂直平分线交 AD于M , ER BC的延长 线交于一点N。求证：(1) AMEA NMD;(2)ND 2 =NC NB3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CD AB 于 D, E 是 AC上一点，CF BE 于 F。求证：EB- DF=AE- DB4 .在 ABC中，AB=AC,高AD与B或于H, EF BC ,垂足为F,
3、延长AD至ijG,使DG=EF, M是AH的中点。求证：GBM 905 .（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题分各5分）PD) AB,交边 AC已知：如图，在 RtABC中，/ C=90 ,BC=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点,于点D （点D与点A、C都不重合），E是射线 DC上一点，且/ EPD=/A.设A、P两点的距离为x, 4BEP的面积为y.（1）求证：AE=2PE;（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当 BEP与4ABC相似时，求 BEP的面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60 , BD、CE分别是 AC、AB上的高求
4、证：(1) ABDAACE; (2) ADEs ABC； (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC, AD、CE分另1J是BC、AB边上的高， ABC和 BDE的面积分另是 27和3, DE=6J2 ,求：点B到直线AC的距离。D共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形，D、B C、E在一条直线上，/DAE=120 ,已知BD=1, CE=3,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在 RtA ABC中，AB=AC, Z DAE=45 .求证：(1) AABEAACD;(2) BC2 2BE CD .A一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDF=6
5、0(1)求证： BD& CFD当BD=1, FC=3时，求BE例2： （1）在 ABC中，AB AC 5, BC 8,点P、Q分别在射线 CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持 APQ ABC.若点P在线段CB上（如图），且BP 6,求线段CQ的长；若BP x, CQ y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；备用图备用图DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ 90 .当 CQ 1 时,BC（2）正方形ABCD的边长为5 （如下图），点P、Q分别在直线CB、线段BP的长.例 3：已知在梯形 ABCD中,AD/ BQ AD BG 且 AD= 5, AB= DC= 2.(
6、1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPO /A.求证； ABF DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BP巳/ A, PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= v，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE= 1时，写出AP的长.AD例4：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB CD BC 6, AD 3 .点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B ,射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F ,联结EF .(1)求证： MEF bem ；(2)若 BEM是以
7、BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD ,求BE的长.BMM相关练习:1、如图，在 ABC中，AB AC 8, BC 10, D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且ADE C .求证： ABDA DCE;(2)如果BD x, AE y ,求y与x的函数解析式，并写出自变量(3)当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE,并作 DEF B,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBUAECF(2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3
8、)联结DF,如果 DEF与4DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD中，AD/ BC, ADV BC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证： BEW CPD;(2)如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPF=/C, PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M ,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=X, DF=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域；一 9 一 一，当Sdmf -Sbep时，求BP的长4(第25题图)(备用图)4、如图，已知边长为3的等边ABC ,点F在边BC上
9、，CF 1 ,点E是射线BA上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边 EFG，直线EG，FG交直线AC于点M , N ,(1)写出图中与 BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似;(3)设BE x，MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围;(4)若 AE1，试求GMN的面积.备用图一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2, AD=3,点P是AD上的一个动点， 且和点A,D不重合，过点P作PE交边AB于点E,设PD x, AE y ,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。cAO 2例2、在 ABC中， C 90o, AC 4,BC 3,O是AB上的
10、一点，且 CO 2,点P是AC上的一个动AB 5点，PQ OP交线段BC于点Q,（不与点B,C重合），设AP x,CQ y,试求y关于x的函数关系， 并写出定义域。Po3在直角 ABC中， C 90 ,AB 5, tan B ,点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF DE 4交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EFBC时，求BE的长。(3)、连结EF当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。FED在直角三角形 ABC中， C 90o,AB BC, D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF DE, DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的
11、中点时，求证： DE DFt AD - DE 钻/古(2)、当 m ,求的值DBDFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域一AD 1(3)、当 AC BC 6,一，设 AE x,BFDB 2E为AB边上【练习4如图，在 ABC中， C 90 , AC 6 , tan B 一，D是BC边的中点, 4的一个动点，作DEF 90 , EF交射线BC于点F .设BE x , BED的面积为y .(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积.【练习5】、（2009年黄浦一模25）如图，在梯形 ABCD 中，AB|CD , AB 2, AD 4,tanC 4, ADC DAB 900, P 是月BC 上3一个动点（不含点B、C）,作PQ AP交CD于点Q .（图1）（1）求BC的长与梯形 ABCD的面积;(2)当PQ DQ时，求BP的长；(图2)设BP x,CQ y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域（图1）（图2）
