中考数学折叠问题

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1、2016 年中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3 将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5 充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅

2、速求解，这是解题时常用的方法之一。折叠问题数学思想：(1) 思考问题的逆向 ( 反方向 ) ，(2) 从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3) 把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4) 归纳与分类的思想( 把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类) ；(5) 从变化中寻找不变性的思想. 用“操作” 、 “观察” 、 “猜想” 、 “分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起题型2：证明问题

3、动手操作的证明问题， 既体现此类题型的动手能力， 又能利用几何图形的性质进行全等、 相似等证明题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。典型例题一.折叠后求度数 例1.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC BD为折痕，则/ CBD的度数为（900D . 950练习1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置，若/ EFB= 65 ,则/ AEDA. 50B . 55C. 60 D , 652.把一张长方形纸片 ABCD

4、& EF折叠后ED与BC的交点为G, DD C分别在M、N的位置上，若/ EF355。，图（1）3.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2)A. 600B . 75 C所示的正五边形 ABCDE其中/ BAC=度。二.折叠后求面积例2.如图，有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6将纸片折叠，使 AD边落在AB边上，折痕为 AE,再将 AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则4 CEF的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 10练习1 .如图，正方形硬纸片 ABCD勺边长是4,点E、F分别是AR BC的中点，若沿左图中的虚线剪

5、开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A. 2 B . 4 C .8 D . 102 .如图a, ABC虚一矩形纸片， AB= 6cm, AD= 8cm, E是AD上一点，且 AE= 6cm。操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，彳#折痕 AF,如图b; （2）将 AFB以BF为折痕向右折22图ccmcmcm三.折叠后求长度例3.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上,点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点 D的位置，且 ED BC ,则CE的长是（(A) 1073 15 (B) 10 5 点(C) 5百 5(D) 20 10/

6、3练习1 .如图，在矩形 ABCD43, AB= 6, BC= 8。将矩形ABCD& CE折叠后，使点 D恰好落在对角线 AC上的点F处。求EF的长；（2）求梯形ABCE勺面积。2 .如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cmBC=10cm 求 EC 的长.EBFC3.如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABC所叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN求线段CN的长.四.折叠后得图形例4.将一张矩形纸对折再对折（如图）,然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（）A.矩形 B .三角形 C .梯形 D .菱

7、形练习1.如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）2.如图,把矩形RtAAB1 E （图乙），再延长EB交AD于F,所得到的 AEF是（）A.等腰三角形B.等边三角形C. 等腰直角三角形D.直角三角形A. 2B. 3 C. 4D. 53.如图，已知BC为等腰三角形纸片 ABC的底边，AD） BC, AD=BC.将此三角形纸片沿 AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（五.折叠后得结论例5.把 ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCD的部时，则/ A与/ 1+/2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发

8、现的规律是（）A. /A=/ 1 + /2B. 2ZA=Z 1 + /2C. 3 ZA=2Z 1+Z 2D. 3 /A=2（ / 1+Z 2）练习1 .从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1）,然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2）,上述操作所能验证的等式是（）-b2 =（a+b）（a-b） B .（a - b）2 = a 2 - 2ab+ b2 C .（a+b） 2 = a 2 +2ab+ b 2 D .a2 +ab = a（a+b）2 .如图，一张矩形报纸ABCM长AB= a cm,宽BC=bcm,E、F分别是ARCD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形 AEFD勺长

9、与宽之比等于矩形 ABCM长与宽之比，则 a ： b等于（）a. V2：i b . i：V2 c . V3：i d . 1：V3(1)六.折叠和剪切的综合应用例6.在一弓长12cm宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形 .李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出/ CAE= DAC /ACFW ACB勺方法得到菱形 AECF（见方案），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大练习Ar:FidI J 、1 、;B EC（方案二）1.已知如图，矩形 ABCM （图1）, ADAB。为对角线的交点，过 。作一直线分别交于BG AD

10、于N Ml（1）求证：梯形 ABNM勺面积等于梯形 CDMN勺面积；（2）如图2,当MNW足什么条件时，将矩形 ABCDa MN为折痕，翻折后能使 C点恰好与A点重合（只写出满足的条件，不要求证明）（3）在（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是总覆盖部分面积的一半，求BN: NC的值。2.如图，矩形 AOBC以O为坐标原点，60 ,以AB为轴对折后，使 C点落在点OB OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0, 3）, / OAB二D处，求D点坐标。3.图是由五个边长都是 1的正方形纸片拼接而成的，过点A的直线分别与 BC、BE交于点M N,且图被直线MN成面积相等的上、下两部分.,、，、11

11、求的值；MB NB求MB NB的长； 图沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图）后,求点M N间的距离.4.将一矩形纸片 OAB做在平面直角坐标系中，O(0,0) , A(6,0) , C(0,3).动点Q从点。出发以每秒1个单位长的速度沿 OC向终点C运动，运动2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿 AO向终点O运动.当3其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示OP, OQ(2)当t 1时，如图1,将4OPQ沿PQ翻折，点。恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标;(3)连结AG将4OPQ沿PQ翻折，得到 EPQ如图2.问：PQ与AC能否平行P

12、E与AC能否垂直若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.巩固练习1、如图所示，有一块直角三角形纸片，C 90, AC 4cm , BC 3cm ,将斜边AB翻折，使点B落在直角边 AC的延长线上的点 E处，折痕为AD,则CE的长为.2、如图，一圆柱高 8cm1底面半径2cm, 一只蚂蚁从点 A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(取3)是.3、矩形纸片 ABCN, AD=4cm, AB=10cm,按如图18-1方式折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,则DE=cm.1题2题34、在 RtAABC 中,BAC 90, AB 3, M为边BC上的点，联结AM .如果将zABM沿直线AM翻折后，点B恰

13、好落在边 AC的中点处，那么点M到AC的距离是5、如图，在一块砖宽 AN 5cm,长 ND= 10cm, CD上的点 B距地面 BD- 8cmi地面上 A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是 。6、如图，折叠矩形纸片 ABCD先折出折痕(对角线)BR再折叠，使 AD落在对角线BD上，得折痕DG若 AB = 2 , BC = 1 ,求 AG.7、如图，把矩形纸片 ABCDm寸角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.(1)求证：4FAC是等腰三角形；(2)若AB=4, BC=6,求 FAC的周长和面积8、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知C

14、E 6cm, AB 16cm , 求BF的长.ADEBFC9、矩形纸片ABCD勺边长AB=4, AD=2.将矩形纸片沿 EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分的面积。10、如图，在边长为2的菱形ABCD43, /B=4。AE为BC边上的高, 求A ABE与四边形AEC颐叠部分的面积。将A ABE沿AE所在直线番S折得A ABE,11、如图、在矩形 ABCD43, AB=6, CB=&将矩形沿对角线 BD折叠，点C落在Ci处，再将所得图形对折,使点D与点A重合，设折痕为 MN求折痕MN的长。C12、如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB= a.将 ABO沿BO对折于 A BO M为BC上一动2（1）如果折痕FG分别与AQ AB交于点F, G （如图（1）,） AF ,求DE的长。