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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流中心极限定理的应用.精品文档.毕 业 论 文题 目 中心极限定理的应用 学生姓名 张世军 学号 1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师 程小静 2015 年 5 月 25 日中心极限定理的应用张世军（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西 汉中 723000）指导教师：程小静摘要 中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证
2、明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 关键词 随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算Central Limit Theorem of ApplicationZhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Han
3、zhong 723000，Shaanxi)Tutor: Cheng XiaojingAbstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common
4、central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disad
5、vantages of central limit theorem on the application.Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory; Approximate calculation1引言概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数
6、学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论重伯努利试验中，事件出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，棣莫弗对重伯努利试验中每次试验事件出现的概率为的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在19191925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。2 常见的中心极限定理2.1 中心极限
7、定理的提法凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布服从正态分布，在概率论中都称之为中心极限定理，具体一点，中心极限定理回答的是随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布。直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至多个）随机因素的总和，其中，每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从正态分布，如：在许多情况下，一随机变量可以表示为大量独立随机变量之和，这里，每个上表示一种随机因素的效应，假如上式包含了决定充分多的随机因素的效应（即充分大），则的分布就近似的分布，中心极限定理就要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即在什么条件下，当时，独立随机变量
8、的和是服从正态分布的。2.2常见的中心极限定理中心极限定理自产生其内容已经非常丰富了，但其中最常见的定理如下2.21棣莫弗-拉普拉斯定理设是重伯努利试验中的事件出现的次数，又在每次试验中出现的概率为,则对任意的，有 证明 令在第试验中出现在第次试验中不出现则是个相互独立的随机变量，且， 于是由切比雪夫不等式有又由独立性知道有 从而有 这也就证明了该定理.该定理是最早的中心极限定理大约在1733年，棣莫弗对证明了上述定理，后来拉普拉斯把它推广到是任意一个小于1的正数上去。该定理表明:正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。该定理主要适用二个方面1近
9、似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率 2已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围(或该范围的最大值).2.2.2李雅普诺夫中心极限定理设是独立随机变量序列，记若存在，使有则对任意的有证明 设是连续型随机变量，密度函数为则有同理，可验证离散型的情形，可证得此定理。这个定理是李雅普诺夫在1900年提出的。它表明，在定理条件下，随机变量，当很大时，近似地服从正态分布，也就是说，无论各个随机变服从什么分布，只要满足定理条件，那么它们的和，当很大时，就近似地服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。 在很多问题中，所考虑的随机变量可以表示成
10、很多个独立的随机变量之和。例如在任一指定时刻，一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。2.23林德贝格-勒维中心极限定理若，是一列独立同分布的随机变量，且则有 证明 设的特征函数为,则 的特征函数为又因为所以于是特征函数有展开式从而对任意固定的,有而是 分布的特征函数，由定理：分布函数列弱收敛于分布函数的充要条件是相应的特征函数列收敛于的特征函数，可知该定理成立，得以求证.这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散
11、分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。定理的结论告诉我们:只有当充分大时，才近似服从标准正态分布，而当较小时，此种近似不能保证。也就是说，在充分大时，可用近似计算与有关事件的概率，而较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当时，则有该定理主要适用于1.求随机变量之和落在某区间的概率；2.已知随机变量之和取值的概率，求随机变量的个数.2.3中心极限定理的异同处与优越性 上述三个中心极限定理都是研究可列个相互独立的随机变量和的分布函数，在一定条件下，当充分大时，转化为正态分布，它们的区别仅仅是各自的条件有所差异。除
12、了中心极限定理外，切比雪夫大数定律也可以用于近似计算。设,则有切比雪夫大树定理可知，任意给定的, 有 而由林德贝格-勒维中心极限定理可知，有 由此可见，在所设条件下，中心极限定理比大数定律在上述近似计算中更为精确。因此，中心极限定理具有一定的优越性。第3章 中心极限定理的应用通过研究发现，中心极限定理的意义重大，应用也相当广泛，这里举例来说明。3.1中心极限定理在供应电力方面的应用例 某车间有200台车床，每台车床由于种种原因出现停车，设每台车床开工的概率为0.6，每台车床开工时耗电1千瓦，并设每台车床开工或停是相互独立的。求至少应供应该车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电
13、不足而产生影响？解 设为某时刻开工的车床数，则, ,需供电千瓦。由拉普拉斯中心极限定理知查表得知 所以，至少应供应这个车间141千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足产生影响。3.2中心极限定理在器件价格上的应用例 某种器件使用寿命（单位：小时）服从正态分布，其平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此继续下去，已知每个器件进价为。试求在年计划中应为此器件做多少预算才可能有95%的把握一年够用（假定一年有2000个工作小时）？解 设第个器件使用寿命为，由于服从参数为的指数分布，且，那么，。假定一年至少准备件才能有95%的把握够用，,相互对立，
14、记 由李雅普诺夫中心极限定理知即 所以 查表得 所以，在年计划中应为此期间做118元的预算才可能有95%的把握一年够用。3.3中心极限定理在商场管理中的应用在实际问题中，如果样本的研究是大样本问题，则我们就可以通过中心极定理来近似计算，对总体中的参数进行推断与估计，商场中的商品订购问题与抽样检验俩个方面就用到了中心极限定理。（1）商品订购问题例某一商店负责供应某地商品。某种商品在一段时间内每人需要用一件概率为0.6。假定在这段时间每个人购买与否彼此独立，问商店应备多少件这种品才能以0.997的概率保证不脱销？第个人购买第个人不购买解 设每个人购买与否为随机变量,则则随机变量序列相互独立。设商店应预备件这种商品，则服从参数为的二项分布，依题意,所以其数学期望与标准方差为，由中心极限定理得 ,查标准正态分布得 故 因此，商店至少应预备643件这种产品才能以99.7%的概率保证不脱销。（2）抽样检验问题例 抽样检验产品质量时，如果发现次品个数多于10个，则拒绝接受这产品，设某种产品的次品率为10%，问至少应抽取多少只检验，才能保证拒绝该产品的概率达到90%？解 设至少应抽取件产品，又设第次抽得次品第次抽得正品 则
