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1、求函数极限的措施和技巧 摘要：本文就有关求函数极限的措施和技巧作了一种比较全面的概括、综合。核心词:函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有重要的地位并以多种形式浮现而贯穿所有内容,因此掌握好极限的求解措施是学习数学分析和微积分的核心一环。本文就有关求函数极限的措施和技巧作一种比较全面的概括、综合,力图在措施的对的灵活运用方面,对读者有所助益。重要内容一、求函数极限的措施、运用极限的定义例: 用极限定义证明：证:由取 则当时,就有 由函数极限定义有： 2、运用极限的四则运算性质若 (I) （II）(III)若 B0 则： （I) (c为常数)上述性质对于例:求 解: =3、约去零因式
2、（此法合用于例: 求解:原式= = =4、通分法(合用于型)例: 求 解: 原式=、运用无穷小量性质法(特别是运用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g（x） 满足:(I)(I) (M为正整数)则:例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、运用无穷小量与无穷大量的关系。 (I)若: 则 （I) 若: 且 f（x）0 则 例： 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有: ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在运用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式浮现时可以互换，若以和、差浮现时,不要容易代换,由于
3、此时通过代换后,往往变化了它的无穷小量之比的“阶数”8、运用两个重要的极限。 但我们常常使用的是它们的变形:例:求下列函数极限 9、运用函数的持续性（合用于求函数在持续点处的极限)。例:求下列函数的极限 (2) 0、变量替代法(合用于分子、分母的根指数不相似的极限类型）特别地有: m、n、k、l 为正整数。例:求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当时 ，于是原式=由于=令： 则 = =11、 运用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 (x)f（x)h（) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1，n）解: 当1时，存在唯一的正整数k,使 k xk于是当 n 时有: 及
4、 又当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(合用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形）。定理:函数极限存在且等于A的充足必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有:例：设= 求及由 13、罗比塔法则（合用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言,对于函数极限的其他类型,均有类似的法则。注:运用罗比塔法则求极限应注意如下几点：1、 要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号背面的分式,在化简后来检查与否仍是未定式,若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错
5、误。、当 不存在时，本法则失效,但并不是说极限不存在，此时求极限须用此外措施。例： 求下列函数的极限 解:令f(x) , g(x)= l,由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型,由罗比塔法则有：1、运用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为以便,下列为常用的展开式：1、2、4、5、上述展开式中的符号均有：例:求解：运用泰勒公式，当 有于是=15、运用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件: (I) f在闭区间上持续 （II）f在(a，b)内可导则在(a ，b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 持续从而有
6、: 、求代数函数的极限措施(1)有理式的状况，即若:（)当时，有 (I)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例:求下列函数的极限 解： 分子，分母的最高次方相似,故 必具有(x1)之因子，即有1的重根 故有:(2）无理式的状况。虽然无理式状况不同于有理式，但求极限措施完全类同,这里就不再一一详述.在这里我重要举例阐明有理化的措施求极限。 例：求解: 二、多种措施的综合运用上述简介了求解极限的基本措施，然而，每一道题目并非只有一种措施。因此我们在解题中要注意多种措施的综合运用的技巧,使得计算大为简化。例:求 解法一: 注：此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: 注:此解法运用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注：此解法运用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法运用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的措施。解法五：注:此解法运用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六:令注：此解法运用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七：注：此解法运用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。(作者： 黄文羊）
