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1、第三章 微分中值定理与导数的应用考试要求】1 理解罗尔 （Rolle） 中值定理、拉格朗日 （Lagrange） 中值定理及它们的几何意义， 理解柯西（Cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）中值定理。会用罗尔中值定理证明方程 根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明 一些简单的不等式。0 82.掌握洛必达（LHospital）法则，会用洛必达法则求=”，“ ”，“ 0 a ”，“ 8-8”，08“18”， “00”和“80”型未定式的极限。3会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调 性证明一些简单的不等式。4理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决 一些简单的
2、应用问 题。5会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。6会求曲线的渐近线 （水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线）。7会描绘一些简单的函数的 图形。考试内容】一、微分中值定理1罗尔定理如果函数y = f（x）满足下述的三个条件：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等， 即 f （a） = f （b），那么在（a,b）内至少有一点E （a b），使得f G ） = 0.说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）， 即若广（x0） = 0，则 称点x0为函数f（x）的驻点.2拉格朗日中值定理如果函数y = f (x)满足下述的两个条件：(
3、1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点E ( a b)，使得下式(拉格朗日中值公式)成立：f (b) - f (a) =)(b - a).说明：当f (b) = f (a)时，上式的左端为零,右端式(b 一 a)不为零，则只能f忆)=0, 这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外，由于拉格朗日中值定理在微分学 中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理.3两个重要推论(1) 如果函数f (x)在区间1上的导数恒为零，那么f (x)在区间1上是一个常数.证：在区间1上任取两点x1、x2 (假定x1 x2同样可证)，应用拉格朗日
4、中 值公式可得f (x )- f (x ) = f ( )(x -x )(x X时广(x)及F(x)都存在且F(x)丰0；3)limXT8f ( X) FX)存在(或为无穷大)，那么limXT8二 lim SX* F(x)g说明：我们指出，对于X T a或X时的未定式“g ”，也有相应的洛必达法则0g3使用洛必达法则求“o”型或“ g ”型极限时的注意事项0g使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“0”型或“ g ”型，如果不是则不sin x能使用洛必达法则.例如：lim就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故兀 xXT2sin x.兀sin2兀 XXT20（2）洛必达法则可多次连续使用
5、，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“ 0 ”则可再次使用洛必达法则，依此类推g型或“一”型,g0g洛必达法则是求“0”型或“ g ”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极.tan x 一 x限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便.例如：求lim时，可先用x tan xxT0 x2 tan x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故tan x 一 xlimxT0 x 2 tan xtan x 一 x=limxT0= limxT0sec2 x 一 13 x 2= limxT0tan2 x3 x 2（
6、4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出lnsin 2x这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算.例如：求lim时， xT0+ lnsin3 x“ lnsin 2x sin3x-cos2x- 2“ 2sin3 x “2-3x ,lim= lim= lim= lim= 1，从第xT0+ lnsin3 x xT0+ sin 2x - cos3x - 3 xT0+ 3sin 2x xT0+ 3 - 2x二步到第三步的过程中,分子上的因子cos2 x和分母上的因子cos3 x当x T 0 +时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算f（x）当洛必
7、达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当limF（x）不f （x）x+sinx存在时（等于无穷大的情况除外），limF（x）仍可能存在例如：极限豊-(x + sin x) - 1 + cos x、lim= lim -=lim(1+ cosx)极限是不存在的，但是原极限XTgx + sin xsin xsin x是存在的，lim= lim(1+) = 1 + lim = 1 + 0 = 1XTgXXTg X4其他类型的未定式0 g 0除了“ 0 ”型或g ”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如0”、“g-g ”0g它们直接转化成“ 0 ”或“ g ”型;法为先取对数将它们转化成
8、“0 ,g ”,丄”、“ 00 ”及“g0 ”型等.对于“ 8 ”和“g-g ”型的未定式，处理方法为将对于“1g”、“00”及“g0”型的未定式，处理方0g型，然后再转化成“ 0 ”型或“ g ”型未定式.三、函数单调性的判定法1单调性判定法设函数y = / （x）在a, b上连续，在（a, b）内可导,（1）如果在（a,b）内广（x） 0，那么函数y = /（x）在a,b上单调增加;（2）如果在（A，B）内/（x） 0 （或/（x） 0 ），则函数/（x）在区间A，B上仍然是单调增加（或单调减 少）的.2单调区间的求法设函数/（ x）在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连
9、续，则 求函数/（X）的单调性的步骤如下：（1）求出函数 f （x） 的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f（x），并令f（x）= 0求出函数的驻点；此外，再找出导 数不存在的点（一般是使得f（X）分母为零的点）；（3）用函数 f（x） 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判 定定理逐个判定各个部分区间的单调性3用单调性证明不等式函数f（x）的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为 f （ x） ，根据要证明的式子找出不等式 成立的x的范围1 ；（2）求f（x）的导数f（x），判断f（x）在上述1范围内的符号（即正负）;（
10、3）根据范围1的边界值与f（x）的情况，导出所需要证明的不等式即可.例如：试证明当x1时,11证明：原不等式即为 2x 3 +，故令/（x）= 2、jx - 3 +，x0，XX111则 f f（x）二 - 二（XiX -1），f （X）在1,+8）上连续，在（1,+8）内XX 2X 2广（x）0，因此在1,+8）上f （x）单调增加，从而当X1时，f （x）f，又由于f=0，故f （x）0亦即1即 2!x 3 +,X四、函数的凹凸性与拐点1函数凹凸性的定义设函数f （x）在区间1上连续，如果对1上任意两点X1、x2，恒有r x + x 12I 2丿f (x ) + f (x )12，那么称/(
11、x)在1上的图形是(向上)凹的(或凹(x + x、弧)；如果恒有f1 c 2 V 2丿,那么称f (x)在1上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数f (x)在1内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示2函数凹凸性的判定法设函数f (x)在区间a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a,b)内f(x)0，则f (x)在a,b上的图形是凹的；(2) 若在(a，b)内f(x) 0，则f (x)在a，b上的图形是凸的.说明：若在(a,b)内除有限个点上 f (x) = 0夕卜，其它点上均有 f (x)0 (或 f (x) 0 )， 则同样可以
12、判定曲线y = f (x)在a,b上为凹曲线(或凸曲线).3曲线的拐点的求法一般地，设y = f(x)在区间1上连续，x0是1的内点(除端点外1内的点).如果 曲线y = f(x)在经过点(x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 (xof ( xo)为这曲线的拐点.我们可以按照下述步骤求区间1上的连续函数y = f (x)的拐点：( 1 )求 f ( x ) ；(2) 令 f(x) = 0， 解出这方程在区间1内的实根，并求出在区间1内f (x)不存在的 点；(3) 对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f(x)在x0左、右 两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点(x0，f (x0)
