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1、第三章 测量误差的传递 在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式获得。通过测量获得量的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据的测量误差，怎样求出所得间接量y的误差值? 对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。 研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础。3.1 按定义计算测量误差 现在按测量误差的
2、定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。 若对量Y用某种方法测得结果y，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 (3-1) 设有如下测量方程 式中 y间接测量结果； 分别为各直接测得值。 直接量的测量数据的测量误差分别为 , 式中，X1，X2，Xn分别为相应量的实际值(真值)。 则间接测量结果的误差可写为 (3-2) 上式给出了由测量数据的误差计算间接量y的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。 直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用
3、。因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线 性化的误差传递方法代替。 但在实用上，这种方法较为繁琐，特别是在分析多个误差因素对测量结果的综合影响 时更是如此，并且往往会遇到困难而无法解决。更重要的是这种方法没有给出规则化的、 简明的误差传递关系，因此在讨论与处理不确定度的合成关系时，它也无法给出简明实用 的合成关系，这是这种方法的局限性。例3-1 设矩形长度为x，宽度为y，则矩形面积s=xy。现通过测量获得x和y的测得值，分别为和，其测量误差分别为和，如图3-1所示，求由此引起的面积误差。 解 这是间接测量的情形。因测得的值和值是有误差的，故按函数关系求得的面积也有误差，按测量
4、误差的定义，面积误差应为 显然，该误差为三项之和，这三项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。 例3-2 测量工件平行端面间的距离L，若工件在测量时，安置歪斜角，则测量线与被测线方向不一致，分析由此引起的测量误差(图3-2)。 解 由图3-2的三角形abc，被测量的实际值L与测得值l间有如下关系 按定义，测量误差为 将按级数展开，略去三次以上的高次项可得此例不能按下面所述的线性化的方法计算。 例3-3 为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度，测得时间间隔t和物体相应 移过的距离s，若测量误差分别为和，求所给速度的误差表达式。 解 给出的速度应按下式计算 而排除测量误差的速度表达式则为 按误差的定
5、义，所给出速度的误差应为 经整理并略去微小量可得例3-4 如图3-3所示电路，设电阻R1、R2的误差分别为、，分析V0的误差。解 由图示关系，得 由与引入V0的误差为 由于R1,R2，故上式可简化为 由例3-4可见，对于间接测量的函数 当测得值时，若按由误差定义所给出的式(3-2)计算y的误差，一般来说是较为繁杂的。造成这一困难的根本原因是这一方法给出的误差计算关系是完全准确的关系，其中包括了若干微小因素。这些微小因素产生了非线性的关系，造成误差表达式的复杂性。将这些微小量适当舍弃以后，可使误差表达式大为简化。3.2 函数误差传递计算的线性化设有函数若分别含有误差，则y的误差为为获得简单的误差
6、关系式，将函数按泰勒级数展开，并略去二次以上的高次项，则得 式中分别为的真值； 分别为的误差； 分别为函数对 的偏导数在处的值。 将展开式代人上面的误差式中，则有 或简单写成 (3-3)式中，偏导数可用真值Xi代人求得，也可用测得值xi代人求得。这是因为xi与Xi 的差别甚小，相应的偏导数值十分接近。 上式表明，函数y的总误差应是各误差分量与相应偏导数之积的代数和,即函数y的总误差是各误差分量的线性和。 这样，通过函数线性化的方法获得了线性的误差传递关系。既简明，又有规则。在函数关系较复杂的情形下，更具有突出的优越性。 由于函数关系通常是非线性的，在作线性化处理时需要略去展开式中二次以上的高
7、次项，保留的一次项部分(即线性部分)只是原来的函数y的近似表达式，所以严格地说， 上面的误差传递关系(式3-3)在一般情况下只是一个近似的关系式。只有在y是xi的线性函数时，该式才是准确的。当展开式的高次项不可忽略(如例3-2的情形)时，函数不能作线性化处理，此时只能直接按定义计算误差。因此，线性化方法的应用受一定条件的限制。 但就一般情形看，由于测量误差相对来说通常是很微小的，所以函数线性化处理 时略去的高次项部分也常可忽略不计。可以说，一般按线性和求总误差在实用上具有足 够的精度，因而式(3-3)，具有普遍意义。 根据式(3-3)，对一些具有特殊函数关系的间接量，可以获得更具体的结果。 对
8、于线性函数 式中，为系数。 间接量y的总误差应为 (3-4) 当时，则有 (3-5) 显然式(3-4)与式(3-5)是准确关系式。 对于三角函数 由式(3-3)，得 (3-6)为求角度的误差，对正弦函数微分 则有以误差量代替微分量，得 将式(3-6)代人上式，得角度误差的表达式 (3-7) 同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度误差表达式。 对于函数 角度的误差式为 (3-8) 对于函数 角度的误差式为 (3-9) 对于函数 角度的误差式为 (3-10) 对于对数函数 y的误差式为 (3-11) 对于对数函数 y的误差式为 (3-12) 当函数误差以相对误差的形式给出时，由式(3-3)，其传
9、递关系为 (3-13) 或写成 (3-14)以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为 (3-15) 或 (3-16)例3-5 利用线性化的方法给出例3-3中速度的误差表达式。解 由速度的函数式，求偏导数有 根据误差传递关系式(3-3)，由测量误差和引起的v的误差为 这一结果与例3-3中经简化处理(将和的系数的分母中的略去)后的结果相 同，表明这一结果是v的近似的、但却是十分简单的误差表达式。 例3-6 利用函数线性化的方法给出例3-4中输出V0的误差表达式。 解 对输出电压V0的函数式 求偏导，有 则按式(3-3)，V0的误差式为 与例3-4的简化结果一致。 例3-7 以压力F将一直径为D的钢
10、球压人样块，样块上压痕高度为t，则样块的布 氏硬度为 (F的单位为N，D、t的单位为mm)。设所加负荷F=29420N，钢球直径D=10mm，测得压痕高度t=0.425mm，试给出布氏硬度的误差表达式(只考虑F、D、t的误差)。 解 设所加压力F的误差为，钢球直径D的误差为，压痕高度t的测量误差 为，则布氏硬度误差的线性化的表达式为 现计算各偏导数(量纲略) 则可得所给硬度值的误差表达式 由上式可见，的系数较大，所以对t的测量精度应有较高的要求。3.3 误差传递计算的线性叠加法则当给出测量函数关系时，式(3-3)给出的误差关系式表明，函数 的误差是自变量误差的线性和。若把函数y看作是间接测量的
11、量，自变量xi看作是直接的测量结果，则间接量的误差应是直接测量数据误差的线性和。 我们可以把上述误差的这一线性叠加关系推广到一般的情形。不管能否写出如上所述的函数关系，一般可将测量结果y的误差表示为 式中:测量结果的总误差； 原始误差，包括直接量的误差和其他各种因素造成的误差； 各原始误差相应的系数，称为原始误差的传递系统；局部误差或分量误差。式(3-17)表明，测量结果的总误差是测量的各原始误差综合作用的结果，它等于各原始误差分别乘以相应的传递系数后的代数和，即测量结果的总误差可表述为各原始误差的线性和(局部误差之和)，这就是误差传递的线性叠加法则。 这一法则指出误差作用具有独立性，即各原始误差对测量结果的作用是独立的，一个 误差因素对测量结果的影响与其他误差因素的大小无关，它们构成总误差的单独组成部 分。这一性质为误差分析和不确定度的合成创造了极为方便的条件。 误差的线性叠加法则给出了一个形式非常简单、使用非常方便的误差传递关系。任 何一个原始误差只要乘以相应的传递系数即可折合为最终结果
