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1、例1例2设An为数列an的前n项和，An=32(an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列dn的通项公式为dn=32n+1;(an1)，可知An+1=(an+11)，解：(1)由An=3322(an+1an)，即n+1=3，而a1=A1=(a11)，得a1=3，所以数列是以3an+1an=aa3322n为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C142n1(1)+C2n-14(1)+(1)2n2n2n=4n+3，24(4
2、(32n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C1n2n11)+C2n-11)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.例3数列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.nn+1.解：(1）可解得ann+1=a，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，验证可知，n=1时，T1=S1，n=
3、2时T2S2；n=3时，T3S3;n=4时，T4S4；n=5时，T5S5；n=6时T6S6.猜想当n5时，TnSn，即2nn2+1可用数学归纳法证明(略）.例4例5已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项bn；试比较Sn与1logabn+1的大小，并证明你的结论.1(2)设数列an的通项an=loga(1+b)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和，n3解：(1)设数列bn的公差为d，由题意得：2bn=3n2.b=1110(10-1)10b+d=1451解得b1=1,d=3,)+loga(1+)(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)
4、+loga(1+1143n-2)(1+)，logabn+1=loga33n+1.=loga(1+1)(1+14113n-23因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+)与33n+1的大111343n-2小，取n=1时，有(1+1)331+1取n=2时，有(1+1)(1+14)332+111由此推测(1+1)(1+)(1+)33n+143n-2当a1时，Sn若式成立，则由对数函数性质可判定：13当0a1时，Snlogabn+1，13例1例在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tanACAC+tan+3tantan2222A+C=2p故tan+tan+3tantan
5、=3.的值为_.解析：A+B+C=，A+C=2B，A+CACAC,tan()=3,tan+tan=3(1-tantan)322222ACAC2222+=-，求cosBC、已知ABC的三个内角A、满足A+C=2B.的值.112A-CcosAcosCcosB2所以+=+1313cosa-sinacosa+sina2222解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=A-C，则AC=2，可得A=60+，C=60，21111cosAcosCcos(60+a)cos(60-a)11cosacosa=+=,133cos2a-sin2acos2a-444依题设条件有cosacos2a-34=-2,cos
6、Bcos2a-3Q-2cos60cosAcosC，把1cosaQcosB=,=-22.24整理得42cos2+2cos32=0(M)(2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.从而得cosA-C=2.22解法二：由题设条件知B=60，A+C=12011=-22,+=-22式化为cosA+cosC=22cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，式可化为，2cosA+CA-Ccos=-2cos(A+C)+cos(A-C)22，cos=-2cos(A-C)将cos(AC)=2cos2()1代入：42cos2(A-C)+2cosA-C32=0，将cosA+C=cos60=
7、1，cos(A+C)=1代入式得：222A-C222A-C222Q22cos+3=0,2cos-2=0,从而得:cos=.(*)，A-CA-C(2cos-22)(22cos+3)=0,22A-CA-CA-C22222例、在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，4435则cos2(B+C)=_.解析：A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=4，sin(2A+C)=3.55C为最大角，B为锐角，又sinB=4.故cosB=3.55即sin(A+C)=4，cos(A+C)=3.55cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)
8、=24，25cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=527.6255、6、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=ksinq，其中k是一个和灯光强度有关的常数，r2那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos，由此得：1=cosq,0qp，rR22=k2(sinqcos2q)rRRI=ksinqsinqcos2qk=2k22I2=(k)22sin2q(1-sin2q)(1-sin2q)(R22)()3R233,等号在sinq=时成立,此时h=Rtanq=R由此得Ik232R2932、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2-cos2A=.B+C722(1)求角A的度数；(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.-cos2A=及A+B+C=180,得:.解:(1)由4sin2B+C722即4cos2A-4cosA+1=
