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1、SARS传播控制及经济影响模型研究西北工业大学 任超，孙中举，都琳指导教师 肖华勇,吕全义摘 要本文是一个对传染病的传播的研究问题。通过对SARS疫情传播控制和对我国经济的影响分别建立了微分方程模型和时间序列上的SARIMA模型。针对SARS疫情的传播，我们以北京公布数据为参考，分别对“控前”和“控后”两个阶段进行建模。我们定义了死亡率和治愈率，并根据附件2中数据估计出，。考察在时间微元内，现有病人、治愈者、死亡者的变化情况，应用动力学原理建立微分方程，机理清楚。通过控制两个可控参数隔离强度、控制时间点，方便的控制和预报疫情。分析发现，当时才能控制住疫情；北京的SARS疫情是在政府的后期控制强
2、度达到65的结果。我们分别作出了现有病人数、累计死亡人数、累计治愈人数、累计病人数的理论值和实际值对照图，由图可知，所建模型符合实际，有较强的预报功能。对控制时间分别提前或延后15天分别计算，结果表明累计病人数变化显著。针对SARS对经济的影响，我们着重讨论了SARS对北京市海外旅游人数的影响。通过对数据的分析，我们将2003年1月及以前的数据作为无SARS影响数据，建立了时间序列SARIMA模型，用SPSS软件求解其均方误差为2.87153万人。并预测了无SARS影响下2003年2月到2004年1月的旅游人数。对于2003年5月到8月完全受SARS影响的数据，我们提出了恢复率概念，采用S型函
3、数建模，并预测了2003年9月到2004年1月的旅游人数。我们估计SARS造成北京市海外旅游人数总共减少144.8498万人，并预测到2004年1月可基本消除SARS对旅游人数的影响。根据上述研究，我们认为我们建立的数学模型易于操作，对实践有着较好的指导意义。关键词：SARS 微分方程 SARIMA模型 S型函数 恢复率1问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识
4、到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：(1) 对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。(2) 建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。(3) 收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。(4) 给当地报刊写一篇通
5、俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。2基本假设1)假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。2)将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常人四类。3)假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。4)假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。5)假设各类人群在人群总体中分布均匀。6)假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。7) 附件2和3提供的北京市疫情统计数据以及北京市接待海外旅游人数真实可信。8) 不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状.3符号说明符号符号说明现有病人数累计病人数累计治愈人数累计死
6、亡人数采取强制措施的时间病人的死亡率病人的治愈率采取控制措施后的隔离强度未被隔离的病人平均每人每天感染的人数4问题一针对2003年在我国某些地区突发的SARS流行疫情，附件1给出了一个早期的分析预测模型。该模型用指数方程得到的解析公式分析了北京SARS疫情的前期走势。在此基础上，引入了传染期限L对增长速度的影响，并考虑不同阶段平均传染概率k的变化，根据5月7日前公布的疫区的SARS累计病例数目，分别对广东、香港、北京的疫情进行计算和分析，拟合出比较合理的参数。从而大致判断出北京早期的实际病例数。最后将广东、香港的参数分别应用于北京的情况，对北京未来的疫情走势进行了预测，估计出最终累计病例数，并
7、进行比较分析。 合理性：该模型对在原有S-I-R传染病模型的基础上进行了改进，考虑到传染期限对疫情的影响，结合实际公布数据估计出这个固定参数的范围。并将控制参数K分段分析，得出了不同地区不同平均传染概率下的疫情曲线图。引入参数合理，有意义。由图中可以看出5月7日前各地的累计病例数与实际公布的累计病例数拟合的很好，误差较小。同时通过求导也给出了不同参数下日增病例数的变化情况。将香港、广东、北京的拟合图样进行比较分析，对三地疫情发展的原因进行了较为仔细、合理的分析。实用性：该模型设定的每个参数都具有实际意义，通过调整可控参数即可控制疫情的走势。欲对某地区日后的疫情进行预测，只需对固定参数进行确定，
8、带入方程并给出初值即可；若要在限定时间内使某地区疫情得以控制，只需调整其可控参数，因此可用此模型给出在一定参数下疫情的发展态势。针对北京的统计数据，用合理的参数可以大致判断出SARS早期传播时较为准确的累计病人数，进而得到由于瞒报、漏报造成的统计数据的误差。可为当地政府提供较为准确的预报值并对政府的决策行为提供建议与指导，具有一定的实用性。5问题二1)问题分析与准备该问题是一个比较典型的流行病模型研究问题。由于SARS的传播受社会、经济、文化、风俗习惯等因素的影响，而影响疫情发展趋势的最直接的因素是：感染者的数量、传播形式以及病毒本身的传播能力、隔离强度，入院时间等，我们在建立模型时不可能也没
9、有必要考虑所有因素，只能抓住关键因素，进行合理的假设和建模。首先我们把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡人群，分别用、和表示。在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号，政府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶段，如图1所示。控 制 前近乎自然的传播模式控 制 后政府控制后的传播模式图1 模型分段示意图控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模型中各类人的转
10、化关系如图2所示。 图2 两个模型中各类人的转化关系为了建立S-I-R和微分方程模型，在这里，我们先作一些数据上的准备。SARS的死亡率和治愈率两个参数，一般只能通过医学界对治病机理的进一步研究加以控制，在短期内不会发生变化。根据附录2的所给的累计病人数、累计死亡人数、累计治愈人数，我们可以对和作最小平方误差估计。死亡率，治愈率用SPSS对其作线性回归，得到，接下来考查第三问SARS对经济的影响，根据19972003年北京接待海外旅游人数的数据，我们采用时间序列的SARIMA模型建模，并对无SARS影响的2003年2月到2004年1月的旅游人数。对2003年5月到8月完全受SARS影响的数据，
11、可以采用S型函数建模，预测2003年9月到2004年1月的旅游人数，反映SARS对北京海外旅游人数的影响程度。2)模型的建立基于以上的分析，我们对“控制前”和“控制后”分别进行建模。设为实施强力控制的时间（以天为单位）。当时，适用于“控前模型”，时，适用于“控后模型”。控前模型假设某地区产生第一例SARS病人的时间为，在时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。我们现在来考虑在到这段时间内几类人群的变化情况。并通过分析各类人群的状态转化关系，建立微分方程，得到病毒传播的动力学模型。 (1) 现有病人数现有病人数是指在某一时段内考察人群中所拥有确诊病人数。考察时段
12、内现有病人数的变化，应该等于时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数(如图3所示)。 现有病人 新增病人死亡和治愈病人 图3 现有病人变化示意图即，现有病人数的变化新增病人数(死亡人数治愈人数)。我们设为每个未被隔离的病人每天感染的人数，和分别为治愈率和死亡率。则有于是有，(5.1)当时，(5.2)(2) 累计死亡人数死亡累计人数的变化新增死亡人数。于是有(5.3)当时，(5.4)(3) 累计治愈人数同理，治愈累计人数的变化新增治愈人数。于是有(5.5)当时，(5.6)(4) 累计病人数 累计病人数现有病人数累计死亡人数累计治愈人数。于是有(5.7)l 综上所述，我们得到了SARS传播的控前模型
13、：(5.8)其中，初始值(5.9)控后模型控后隔离强度从控前的0变为。未被隔离的病人平均每人每天感染的人数随时间逐渐变化，它从初始的最大值逐渐减小至最小值。、的值客观存在，可从参考文献1中查到。设每个未被隔离的病人每天感染的人数 其中，用来反映的变化快慢，可以用附件2中的数据估计出它的大小。类似于控前模型的分析，我们来考虑在到时段内各类人群的变化情况。 (1) 现有病人数如图3所示，同样有，现有病人数的变化新增病人数(死亡人数治愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死亡率。则有于是有，(5.10)当时，(5.11)(2) 累计死亡人数时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。于是有(5.1
14、2)当时，(5.13)(3) 累计治愈人数同理，治愈累计人数的变化新增治愈人数。于是有(5.14)当时，(5.15)(4) 累计病人数 累计病人数现有病人数累计死亡人数累计治愈人数。于是有(5.16)l 综上所述，我们得到了SARS传播的控后模型：(5.17)其中， (5.18)初始值取控前模型的最后一个值。3)模型的求解控前模型的求解 对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程(5.8)，求得它的解析解为(5.19)其中，(5.20)再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、以及的数值解。控后模型的求解同理，我们求得现有病人数得解析解(5.21)其中，(5.22)我们已经分析过，为一客观参数，可以从参考文献1中查到。由于3月5日第一例SARS进入北京，是我们记时的起点；4月20日即为的情况。和为待估计的参数，现在来估计和。根据附件2中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计和的值。估计时我们按均方最小误差原则，用SPSS软件计算出其估计值分别为，。至此即为关于的一元确定函数。 我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4所
