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1、导数恒成立问题1.已知函数f(x)二 ax2 + 2ln(1 - x) (a 为实数)(I)若f(x)在x = 1处有极值，求a的值;(II)若f(x)在-3,-2上是增函数，求a的取值范围。(I)由已知得f(x)的定义域为(1)又 f(x)= 2ax 一 丄3分由题意得 f(1) = 2a 1 = 01 a =2(II)解法一：依题意得5分2ax 01 x1(i；r(x ) 2 +24X w-3，- 2， (x 恳)2 + 的最大值为 一(2 A)2 + = 一6242411 11的最小值为-(x 丄)2 + 16241又因a =时符合题意61 a 0对x g3， 一2恒成立,.27分2 2
2、ax ， a 1 x X2 + x9分14分12分2.设函数 f (x) = In x + x2 + ax.(I)若x = 2时，f (x)取得极值，求a的值;(II)若f (x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围;18. 解:解: f(x)=丄 + 2 x + a =x2 x 2 + ax +1，x(I)因为x = 2时,f (x)取得极值，所以广(2)=0,即 2 +1 + a = 0,3分(II) f (x)的定义域为(0, + 8).方程2x2 + ax +1 = 0的判别式A = a2 -8,(1) 当 A 0,即 一22 a 0, x) 0 在(0, + a )内恒成立，此时f
3、(x)为增函数.(2) 当 A 0,即 a 22 时，要使f (x)在定义域(0,)内为增函数，只需在(0, + 8)内有 2x2 + ax +1 0 即可，设 h( x) = 2 x 2 + ax +1，h(0) = 1 0,_由a 门 得a 0, 所以a 2近. 一 0、2 x 2由(1)可知，若f (x)在其定义域内为增函数，a的取值范围是-2, +8).9 分 3设函数 f (x) = (1+ x)2 - 2ln(1 + x).(I) 求f (x)的单调区间；(II) 若当x G 丄-1,e -1时，不等式f (x) 0，得 x0；由 f /(x) 0，得-1 x + 2 ee2e2当
4、x g 丄-1,e -1时,f (x)的最大值为e2- 2 .e故当m e2 2时，不等式f (x)m恒成立.(III) 方程 f (x) = x2 + x + a , x - a + 1 - 2ln(1 + x) = 0.记 g(x) = x - a +1- 2ln(1 + x),g/(x) =1 -21+xx -1x+1由 g /(x) 0,得-1 x 0，得 x1 或 x-1 (舍去).420.解g(x0,1上递减，在1,2上递增.为使方程f (x) = x 2 + x + a在区间0, 2 上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在0,1和(1, 2上各有一个实数根,于是有/ 2 -
5、2ln2 3 - 2ln3 ,实数a的取值范围是2-2ln2 a 0).x(I)若f (x)在1,+s)上单调递增，求实数a的取值范围;g (0) 0, g (1)0.14分本题满分 14 分)112(I)由 f (x) = ax 2 + 一 2ln x，得 f (x) = 2ax 一一一.xx 2 x由函数f (x)为1,+s)上单调增函数，得f(x) 0在1,+s)上恒成立, 12即不等式2ax - 0在1,+s)上恒成立.x 2 x2分11也即a +在1,+s)上恒成立.2x3 x211令g(x) = 一 + 一，上述问题等价于a g(x). 2x3x2max113而g(x) =+为在1
6、,+s)上的减函数，则g(x)= g(1)=.2 x 3x 2max24分于是a 2为所求.6分5.已知函数f (x) = xlnx .(I) 求f (x)的最小值；(II) 若对所有x 1都有f (x) ax -1，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分 13 分)(I)解：f (x)的定义域为(0，+8),. 1分f(x)f(x) = 1 + ln x3分令广0，解得x 1 ；令八x)0，解得0 x ax -1在1 + s)上恒成立,1a 1 时，因为 g(x)= 1 0 ,x故 g(x) 是 (1，+ s) 上 的 增 函 数 ，所以g(x) 的g =1，12 分从 而 a 的 取 值 范 围 是 (s，1. 13 分
