随机事件及其运算

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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。1教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。本章的教

2、学要求是：（）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、

3、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如自由落体，100C时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。1.1.1 随机现象定义 在一定条件下，并不总

4、是出现相同结果的现象称为随机现象。例（）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；（）掷一颗骰子，出现的点数；（）一天内进入某超市的顾客数；（）某种型号电视机的寿命；（）测量某物理量（长度、直径等）的误差。随机现象到处可见。特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。1.1.2 样本空间样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为其中，表示基本结果，称为样本点。（）执一枚硬币的样本空间为：；两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间由以下四个

5、基本结果组成，=（正，正），=（正，反），=（反，正），=（反，反），则A=“至少出现一个正面”=；B=“最多出现一个正面”=；C=“恰好出现一个正面”=；D=“出现两面相同”=。（）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：；两颗呢？这时基本结果可以用一个数对（x,y）表示，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是=(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6,共有36个结果。则事件A=“点数之和等于2”=（1，1），B=“点数之和等于5”=（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）C=“点数之和超过9”=（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（

6、6,6）D=“点数之和不小于4也不超过6”=（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）。（）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：；为什么这样处理？（）某种型号电视机的寿命样本空间为：；（）测量误差的样本空间为：。离散样本空间和连续样本空间。样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类连续样本空间。1.1.3 随机事件1定义 随机现象的某些样本点组成的集合。随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B

7、、C来表示事件。A=“出现奇数点”，A=1,3,5等。事件具有以下特征：（1）任一事件A是相应样本空间的一个子集。（2）事件A发生当且仅当A中某一结果发生，或者说，当（A）发生，则说世事件A发生，当（A） 发生，则说A不发生。（3）事件A的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。2维恩图 事件的集合表示。基本事件复合事件必然事件不可能事件3例 掷一颗骰子的样本空间为：。事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成。事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不可能事件。事件D=“出现的点数不超过7”，

8、中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件。样本空间与集合的关系，对应关系1.1.4 随机变量1定义 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母等表示，也有的用希腊字母等表示。很多随机事件都可以用随机变量来表达。2例 （1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；（3）检查10件产品，其中不合格产品数是一个随机变量，表示（4）电视机的寿命是一个随机变量。此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。取值情况：有限、无限可列离散型随机变量；剩下的非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）有了随机变量，我们就可以用随机变量来表

9、达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。1.1.5 事件之间的关系为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。事件之间的关系有：一、包含关系（1）事件的包含 设在同一个试验里有两个事件A，B，若事件A中任一基本结果必在B中，则称A包含于事件B或B包含A，记为AB,BA。此时若A发生则必导致B发生。如A=“出现4点”，B=“出现偶数点”显然对于任意一个事件A有 A二、相等关系事件的相等 设在同一个试验里有两个事件A 与B，若AB且BA，则称事件A与B是相等的,

10、记为A=B。这时A与B必然包含相同的基本事件。A = B A B 而且 B A. 如掷两颗色子，观察它们出现的点数（x,y），设A=“x+y=奇数”，B=“x与y的奇偶性不同”，则A=B.三、互不相容关系 (3)事件的互不相容（互斥） 设在同一个试验里，若两个事件A与B没有相同的基本结果，则称事件A与B互不相容，这时事件A与B不可能同时发生。如A=“出现点数为偶数”，B=“出现3点或5点”，则A与B互不相容。同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件A,A,A ，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n个事件是互不相容的。各种关系的维恩图表示。1.1.6 事件运算1事件运算

11、：一、事件与的并（和），记为：“由事件与中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“ 事件与中至少有一个发生”“ 或”举例且：，；当时，,；表示中至少有一个发生。称为有限并，称为可列并二、事件与的交，记为：或“由事件与中公共样本点组成的新事件”“ 事件与中同时发生”“ 且”举例且：，；当时，,；表示全部发生。若与互不相容（互斥），则；反之，亦然。称为有限交，称为可列交。三、事件与的差，记为：“由事件中但不在中的样本点组成的新事件”“ 事件发生而中不发生”“ 非”举例：如A=1，3，5，B=1，2，3，则AB=，而BA。一般情况下这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。将表示为互不相容事件的和

12、：等。若为随机变量，则有：四、对立事件设A为试验里的事件，则由不在A中的一切结果组成的事件称为A的对立事件，记为,就是“A不发生”。如 A=“出现偶数点”，则=“出现奇数点”。对立事件是相互的，=A,=，=。举例：对立与互不相容的区别与联系，比较举例：设A，B，C是某个试验中的三个事件，则（1）事件“A与B发生，C 不发生”可以表示为。（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可以表示为(3)事件“A，B，C中至少有两个发生” 可以表示为（4）事件“A，B，C中恰好有两个发生” 可以表示为.(5) 事件“A，B，C中有不多于一个事件发生”可以表示为（6）事件“A，B，C中至少有一个发生的对立事件

13、”是。2事件的运算性质：（1）交换律： ，；（2）结合律： ，； （3）分配律： ，；（4）对偶律（德莫根公式）： 。证明：或者、或者、完备事件组（或者称为样本空间的一个分割）把样本空间分成n个事件， ，假如（1）P()0,i=1,2, ,n ; (2) ， ，互不相容，；（3）。则称事件组， ，为上的一个完备事件组。（最简单的分割是B和）比较：记号概率论集合论样本空间, 必然事件空间不可能事件空集w样本点元素ABA发生必然导致B发生A是B的子集AB=A与B互不相容A与B无相同元素ABA与B至少有一发生A与B的并集ABA与B同时发生A与B的交集A-BA发生且B不发生A与B的差集A不发生对立事件

14、A的余集七、事件域给出事件域的概念，目的是为下一节定义事件的概率作准备。“事件域” 样本空间中某些子集组成的集合类，记为： 可测集合才能定义概率，为此有以下的准备应该包括：以及相关事件的各种运算（并，交，差、对立），在运算之下应该具有封闭性交的运算可以通过并与对立来实现（狄摩根对偶律）差的运算可以通过对立事件与交来实现（）所以，对立事件与并的运算就可以解决任何问题1定义 设为一样本空间， 为的某些子集组成的集合，如果满足： （1） （2）若，则； （3）若，则。则称为一事件域或代数。在概率论中，又称为可测空间。2常见事件域例 常见事件域：；，取基本集合类为全体半直线组成的类利用事件类的要求，首先把左闭右开的扩展近来然后再把闭区间、单点集、左开右闭、开区间扩展近来，最后用（有限或可列个）并运算和交运算把实数中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展近来。这就是人们希望得到的：3波雷尔事件域： 。 /