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1、第14讲 解析几何问题的题型与方法一、知识整合高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择
2、恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程：（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求
3、出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意
4、义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占181；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及1选择、填空题11 大多数选择、填空题以对
5、基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例2（04辽宁）已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（A）（B）（C）（D）212 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3（04天津文）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（A） （B）（C） （D）2解答题解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上
6、有一定的梯度，第一问相对比较简单例4(04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). （）求椭圆的方程； （）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高解：（I）设所求椭圆方程是由已知，得 所以.故所求的椭圆方程是（II）设Q（），直线当由定比分点坐标公式，得.于是 故直线l的斜率是0，.例5（04全国文科）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l
7、与y轴的交点为P，且求a的值.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率（II）设由于x1，x2都是方程的根，且1a20，例6（04全国文科）给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（）设的斜率为1，求夹角的大小；（）设，求在轴上截距的变化范围.解：（）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为（）由题设 得 即由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为 当时，l在方程y轴上的截距为由 可知在4，9上是
8、递减的， 直线l在y轴上截距的变化范围为从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆三、热点分析与2005年高考预测1重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去例7（02年新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点
9、，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中a、bR，且ab=1，则点C的轨迹方程为（A）（x1）2（y2）2=5（B）3x2y11=0（C）2xy=0（D）x2y5=0例8（04辽宁）已知点、，动点，则点P的轨迹是（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 2考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大3与数列相综合在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏
10、卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题例9（04年浙江卷）如图，OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （）求及;（）证明（）若记证明是等比数列.解：()因为，所以，又由题意可知，= 为常数列.()将等式两边除以2，得又，（） 又是公比为的等比数列.4与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合例10（04年湖南文理科试题）
11、如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（I）设点P分有向线段所成的比为，证明: （II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之
12、得 所以圆C的方程是 即 5重视应用在历年的高考试题中，经常出现解析几何的应用题，如01年的天津理科试题、03年的上海文理科试题、03年全国文科旧课程卷试题、03年的广东试题及江苏的线性规划题等，都是有关解析几何的应用题 例11（04年广东试题）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、
13、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.（二）05年高考预测1难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度，预计这一形式仍将在05年
14、的试题中得到体现此外，从04年分省（市）命题的情况来看，在文科类15份试卷（含文理合用的试卷）中，有9分试卷（占3/5）用解析几何大题作为最后一道压轴题，预计这一现状很有可能在05年试卷中继续重现2命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求3命题的热点：（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点，相信，在05年的考试中将继续体现；（3）求轨迹方程（4）应用题四、二轮复习建议1根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性由于解析几何通常有23小题和1大题，约占28分左右，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于全市的所有不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习，提高复习的有效性2重视通性通法，加强解题指导，提高
