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1、热力学与统计物理学课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数kT解：由理想气体的物态方程为PVnRT可得:等温压缩系数：K VV 1nRT1PV( P2) P体胀系数：1aVVTp压强系数：B-PPTv1nR1VPT1nR1PVT体胀1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质，其物态方程可由实验测得的系数及等温压缩系数kT,根据下述积分求得：lnVadTKdP11如果a,k，试求物态方程TPadTKdP解：体胀系数:a1 V ,等温压缩系数：KV T p以T, P为自变量，物质的物态方程为：V其全微分为：
2、dV V dT V dPT PP tV T,PO/dT VKdPdVadT KTdPT这是以T,P为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：lnV根据题设，将a1,K-,代入：lnV1dTdPTPTP得：InVlnTC,PVCT,其中常数C由实验数据可确定P1.5描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力 ,物态方程是fL,T0,实验通常在1Pn下进行，其体积变化可以忽略1II线胀系数定义为：a）等温杨氏模量定乂为：Y,其中A是LTALT金属丝的截面积。一般来说,和丫是T的函数，对仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T-降至T2时，其张
3、力的增加为:yaT2t-0解：由fl,T0,可得：,T微分为：d dLdT,由题意可知：dL0。AYA、，dLaAYLLtTLL又因为：TLTLT即：dAYdT,积分得：&AYg-TJ1.7在25C下，压强在0至1000Pn之间，测得水的体积为:V18.0660.715103P0.046106P2cmlmol1。如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所作的功。解：将体积与压强的关系简记为：VabPcP2，求导可得：dVb2cPdP温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn,此过程中外界所作的功为:VbVaPdVpBP b 2cP dPPa12 2 3bP c
4、P231ooo1-i 33.1J .mol1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强Po时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来大气中的Uo之差为uUoPoVo,其中Vo是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假设气体冲入小匣之前的状态为（P,Vo, To）,内能是Uo。气体冲入小匣后的状态为（Po, V, T）,这时的内能为U;外界对气体所做的功为：PodVo o由热力学第一定律：UQW, Qo,可得：U UooPodVoVo即：UUoPoVo（证毕），理想气体的内能：U Uo Cv T To,由物态方程
5、:PoVoRToC 得：C/T Cv RTo,所以:R CATo 汛CvCv等压过程：VVoTY/oTo1.11满足PVnC常量的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量Cn为：Cnn丫Cv。n1证明：、穿ndUPdVPdVCvdTndTn由理想气体的物态方程PVRT,可得：PdVVdPRdT以及理想气体多方过程pvnC,可得：PnVn1dVVndPoPndVVdP0(3)，用(2)式减(3)式可得：PdVPndVRdTdVRdT n 1 n P（4）,将（4）式代入（1）式可得：CnCv由迈耶公式：CpCvR，以及：乞Y，可得：Cv1R（6）将（6）式代
6、入（5）可得：Cn刖CV,证毕1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多CC方过程，多方指数nJ-o假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。CnCV解：由热力学第一定律：dUdQdW,对于理想气体：dUCvdT,而dWPdV,dQCndTo代入可得：CvdTC.dTPdV即：CnCvdTPdV（1）,理想气体的物态方程：RTPV（2）由（1）式和（2）式可得：（Cn5)； RdVV(3)dP dVdT,代入（3）式，消去一可得(Cn Cv)八(Cn Cp)八P0 :令:nCnCnCPCv即：于吟。，若Cn,Cp,Cv都是常量，则积分得：C证明了该过程是多方过程1
7、.17 温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后，水温达到100C试分别求水和热源的嫡变以及整个系统的总嫡变。欲使整个系统的嫡保持不变，应如oc何使水温从0c升至100C?已知水的比热容为4.18Jg1K1解：为了求水的嫡变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0C升至100C。在这与100C之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由可逆过程中，水的嫡变为：373mlepdT373373273mCpIn1034.18In1304.6JK273273这一过程中水所吸收的总热量Q为：QmCpT10004.183732734.18105J为求热源的嫡变，假设热源向温度比100
8、C略低的另一热源放出热量Qo在这可逆过程中，热源的嫡变为:S热源执 八、4.18 10 j k 13731120.6J K 1整个系统的总嫡变为：S总S水S热源184JK1。为使水温从0C升至100C而整个系统的嫡保持不变，将水逐个与温度分布在0C与100C之间的一系列热源接触。这一系列热源的嫡变之和为：S热源373mCpdTmCp|n37310004.18In3731304.6JK1热273T273273整个系统的总嫡变为：S总S水S热源01.18 10A的电流通过一个25的电阻器，历时1so(i)若电阻器保持为室温27C,试求电阻器的嫡增加值。(ii)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为2
9、7C,电阻器的质量为10g,比热容Cp为0.84Jg1k1,问电阻器的嫡增加为何？解：(i)以T,P为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为室温27r不变，则电阻器的嫡作为状态函数也就保持不变。(ii)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量Q将全部被电阻器吸收使其温度由T1升为T2,即：|2RtmCpT2T10I2Rt102251求得：T2T1竺(300600KmCp100.84电阻器的嫡变为:T2mCpdTT26001S-mCpIn-(100.84InJK15.8JK1T1TT；3001.19 均匀杆的温度一端为Ti,另一端为T-,试计算达到均匀温度1T,T-后的熵增。解：坐标为 x 处的初始温度为： Tx T1x ，设单位长度的定压热容为Cx ，则CplCx,因止匕:T1T2T1T22dQ2CxdTSxTxTTxTCx2TxCxlnjlnTx2il总嫡变：SxdxoCxlnTxdx令：yCplnTCxllnT2TlT1lx,贝l巨，xdxCx0lnT1TT2SxCplnTCxlnyT2TidyT2T2lnT2T1lnT12T2TiCp旦ylnyyT2Ti
