圆中动点问题

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1、.圆中的动态问题【方法点拨】 圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作（1）折叠后的所在圆的圆心为O时，求OA的长度； 如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度； 如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片O沿弦CD折叠操作如图4，当ABCD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦ABCD的距离之和为d，求d的值；如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB

2、的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论【答案】解：（1）折叠后的所在圆O与O是等圆，OA=OA=2。当经过圆O时，折叠后的所在圆O在O上，如图2所示，连接OAOAOB，OB，OO。OOA，OOB为等边三角形，AOB=AOO+BOO=60+60=120。的长度。如图3所示，连接OA，OB，OA=OB=AB=2，AOB为等边三角形。过点O作OEAB于点E，OE=OAsin60=。（2）如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，过点O作EFAB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。ABCD，EF垂直平分AB和CD。根据垂径

3、定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF。又EF=4，点O到ABCD的距离之和d为：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：设O，O为和所在圆的圆心，点O与点O关于AB对称，点O于点O关于CD对称，点M为的OO中点，点N为OO的中点。折叠后的与所在圆外切，连心线OO必过切点P。折叠后的与所在圆与O是等圆，OP=OP=2，PM=OO=ON，PN=OO=OM，四边形OMPN是平行四边形。【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

4、【分析】（1）折叠后的所在圆O与O是等圆，可得OA的长度。如图2，过点O作OEAB交O于点E，连接OAOBAE、BE，可得OAE、OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可。如图3，连接OAOB，过点O作OEAB于点E，可得AOB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O到弦AB的距离。（2）如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EFAB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到ABCD的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。 变式一 如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与A

5、B交于点D，得到ODCAB（1）若，求证： 必经过圆心O；（2）若AB8，2，求BC的长 变式二 如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC，OE=BC（1）求BAC的度数；（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长 题型二：圆中的旋转问题例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知ABC，分别以AC和BC为直径作半圆，P是AB的中点。（1）如图8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使，则有结论.四边形是菱形。请给出结论的证明；（2）如图9，若（1）中ABC是

6、任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC是的切线，求证：（1）BC是O2直径，则O2是BC的中点又P是AB的中点，P O2是ABC的中位线P O2 AC又AC是O1直径P O2 O1CAC同理P O1 O2C BCAC BC P O2 O1CP O1 O2C 四边形是菱形（2）结论PO1EPO2F成立，结论不成立证明：在（1）中已证PO2AC，又O1EACPO2O1E 同理可得PO1O2FPO2是ABC的中位线 PO2AC PO2BACB同理P O1AACB PO2BP O1A AO1E BO2F P O1A+AO1E PO2B+BO2

7、F即P O1E F O2 P、 EO1PPO2F；（3）延长AC交O2于点D，连接BD BC是O2的直径，则D90， 又PC是O1的切线，则ACP90， ACPD 又PACBADAPCBAD又P是AB的中点ACCD在RtBCD中，在RtABD中，评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS，SAS，ASA，或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换变式一 阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形

8、的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆O，O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作MON，使MON=90，将MON绕点O旋转，OM、ON分别与O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1）当OM经过点A时（如图），则S、S、S之间的关系为：S （用含S、S的代数式表示）；（2）当OMAB时（如图），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。（3）当MON旋转到任意位置时（如图，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由【答案

9、】解：（1）（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积变式二 （2012杭州）如图，AE切O于点E，AT交O于点M，N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT=30，AE=3，MN=2（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中

10、找出另一个顶点在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A相等，由A的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理

11、得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OEOC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；（3）把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由FDE为30，利用锐角三角函数定

12、义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比解答：解：（1）AE切O于点E，AECE，又OBAT，AEC=CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC，又A=30，COB=A=30；（2）AE=3，A=30，在RtAEC中，tanA=tan30=，即EC=AEtan30=3，OBMN，B为MN的中点，又MN=2，MB=MN=，连接OM，在MOB中，OM=R，MB=，OB=，在COB中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC，OC=OB=，又OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：R2+18R115

13、=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5，则R=5；（3）在EF同一侧，COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，EF=5，直径ED=10，可得出FDE=30，FD=5，则CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键题型三：圆中的动点例题

14、三 （2012江苏南京10分）如图，A、B为O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合），我们称APB为O上关于A、B的滑动角。（1）已知APB是上关于点A、B的滑动角。 若AB为O的直径，则APB= 若O半径为1，AB=，求APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）900。如图，连接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90。当点P在优弧 AB 上时（如图1），APB=AOB=