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1、第七章线性变换在中，,，证明:解题提示直接根据变换的定义验证即可.证明 任取,则有,于是 .设是线性变换，如果,证明：. 解题提示运用数学归纳法进行证明.证明 当时,由于，可得，因此结论成立假设当时结论成立，即.那么，当时，有,即对结论也成立从而,根据数学归纳法原理,对一切结论都成立. 特别提示由可知，结论对也成立. 5.证明：可逆映射是双射解题提示只需要阐明可逆映射既是单射又是满射即可.证明 设是线性空间上的一种可逆变换对于任意的,如果，那么,用作用左右两边,得到，因此是单射;此外,对于任意的，存在，使得，即是满射.于是是双射特别提示由此结论可知线性空间上的可逆映射是到自身的同构 设是线性空
2、间的一组基，是上的线性变换,证明可逆当且仅当线性无关.证法 若是可逆的线性变换,设，即.而根据上一题结论可知是单射,故必有，又由于是线性无关的,因此从而线性无关反之，若是线性无关的,那么也是的一组基.于是,根据教材中的定理1,存在唯一的线性变换,使得,.显然,，.再根据教材中的定理1知,因此是可逆的.证法2 设在基下的矩阵为，即.由教材中的定理2可知,可逆的充要条件是矩阵可逆因此,如果是可逆的,那么矩阵可逆,从而也是的一组基,即是线性无关的.反之，如果是线性无关,从而是的一组基,且是从基到的过渡矩阵，因此是可逆的.因此是可逆的线性变换措施技巧措施1运用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换
3、;措施2借助教材中的定理2，将线性变换可逆转化成了矩阵可逆9设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为 1)求在基下的矩阵； 2)求在基下的矩阵，其中且; 3）求在基下的矩阵.解题提示可以运用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一种线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解解 1)由于,故在基下的矩阵为）由于,，.故在基下的矩阵为3)由于从到的过渡矩阵为,故在基下的矩阵为.措施技巧根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了)和2)所求的矩阵;)借助了过渡矩阵，运用相似矩阵得到了所求矩阵事实上,这三个题目都可以分别用两种措施求解10.设是线性空间上的线性变换，如果,但,求证：()线性无关.证明由于
4、，故对于任意的非负整数,均有当时，设,用作用于上式,得，但，因此.于是,再用作用上式,同样得到.依此下去，可得从而线性无关.1证明：与相似,其中是的一种排列.解题提示运用同一种线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义证法1 设是一种维线性空间,且是的一组基此外，记,于是，在基下，矩阵相应的一种线性变换,即.从而，又由于也是的一组基,且故与相似 证法2 设与 对互换两行，再互换两列，相称于对左乘和右乘初等矩阵和，而即为将中的和互换位置得到的对角矩阵.于是,总可以通过这样的一系列的对调变换，将的主对角线上的元素变成,这也相称于存在一系列初等矩阵,使得，令,则有，即与相似.措施技巧证法1运用
5、同一种线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质;证法运用了矩阵的相似变换，直接进行了证明17如果可逆,证明与相似证明 由于可逆，故存在.于是,因此，根据相似的定义可知与相似19求复数域上线性变换空间的线性变换的特性值与特性向量.已知在一组基下的矩阵为：1）；4)；）解 1)设在给定基,下的矩阵为.由于的特性多项式为，故的特性值为，当时,方程组，即为解得它的基本解系为从而的属于特性值的所有特性向量为，其中为任意非零常数.当时，方程组,即为解得它的基本解系为，从而的属于特性值的所有特性响向量为,其中为任意非零常数.4）设在给定基下的矩阵为,由于的特性多项式为，故的特性值为，,当时，方程组，即为求得
6、其基本解系为,故的属于特性值的所有特性向量为其中为任意非零常数.当时,方程组,即为求得其基本解系为，故的属于特性值的所有特性向量为其中为任意非零常数.当时，方程组,即为求得其基本解系为，故的属于特性值的所有特性向量为其中为任意非零常数5)设在给定基下的矩阵为,由于的特性多项式为,故的特性值为(二重），.当时,方程组,即为求得其基本解系为，故的属于特性值1的所有特性向量为其中为任意不全为零的常数.当时,方程组，即为求得其基本解系为,故的属于特性值的所有特性向量为,其中为任意非零常数. 措施技巧求解一种线性变换的特性值即求其矩阵的特性多项式的根，再对每个根求得所相应的特性向量,但一定要注意体现成基
7、向量的线性组合形式.21）设是线性变换的两个不同特性值，是分别属于的特性向量,证明:不是的特性向量;）证明：如果线性空间的线性变换以中每个非零向量作为它的特性向量，那么是数乘变换.证明 1）反证法假设是属于特性值的特性向量,即.而由题设可知,且,故比较两个等式,得到再根据是属于不同特性值的特性向量，从而是线性无关性,因此,即这与矛盾因此不是的特性向量.2)设是的一组基，则它们也是的个线性无关的特性向量,不妨设它们分别属于特性值,即,根据1)即知否则,若，那么,且不是的特性向量,这与中每个非零向量都是它的特性向量矛盾因此,对于任意的，均有，即是数乘变换.25设是复数域上的维线性空间,是上的线性变换,且.证明：1)如果是的一种特性值,那么是的不变子空间；2)至少有一种公共的特性向量.证明 1）设,则,于是，由题设知，因此根据不变子空间的定义即知，是的不变子空间.2）由1）可知是的不变子空间，若记,则是复数域上线性空间的一种线性变换,它必有特性值及非零向量,使得，即是的特性向量,从而是和的公共特性向量因此,存在公共的特性向量.
