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1、一道课本本概率习习题的推推广浙江省象象山中学学 张宗余余 31557000在新教材材第二册册（下AA）第1141页页“排列、组合和和概率”的小结结与复习习中有这这样一题题“将并排排的5个个房间安安排给55个工作作人员临临时休息息，假定定每人可可以进入入任一房房间，且且进入各各个房间间是等可可能的，求每个个房间恰恰好进入入1人的的概率。”分析：由于每每个人可可以进入入任一房房间，进进入哪个个房间有有5种等等可能的的方法。根据分分步计数数原理，5个人人进入55个房间间共有 种等可可能的方方法。每每个房间间中恰好好各进去去1人，相当于于对5个个人进行行全排列列，其排排法的种种数是55！，因因此，每每
2、个房间间恰好进进入1人人的概率率：。纵向推广广1：将将并排的的6个房房间安排排给5个个工作人人员临时时休息，假定每每人可以以进入任任一房间间，且进进入各个个房间是是等可能能的，求求指定的的5个房房间恰好好进住11人的概概率。分析：每每人有66个房间间可供选选择，所所以5个个人住的的方式有有种，指指定的55个房间间各有11人住，其可能能总数为为5人的的全排列列5！，于是 。纵向推广广2：将上题题中的“指定的的5个房房间恰好好进住11人”改为“恰有55个房间间各入住住1人”，情况况又如何何？ 分析析：题中中的5个个房间可可以在66个房间间中任意意选取，其总数数有种，对选定定的5个个房间，按上述述的
3、分析析可知有有5！种种分配方方式，所所以恰有有5个房房间入住住1人的的概率为为。将纵向推推广1推推广到一一般情况况 1 ：将并并排的NN个房间间安排给给n个工作作人员临临时休息息（N n），假定定每人可可以进入入任一房房间，且且进入各各个房间间是等可可能的，求指定定的n个房间间各恰好好进住11人的概概率。分析：每每人有nn个房间间可供选选择，所所以n个个人住的的方式有有种，指指定的nn个房间间各有11人住，其可能能总数为为n人的的全排列列n！，于是 。将纵向推推广2推推广到一一般情况况 2：将并排排的N个房间间安排给给n个工作作人员临临时休息息（N n），假定定每人可可以进入入任一房房间，且且
4、进入各各个房间间是等可可能的，求恰好好有n个个房间，其中各各住1人人的概率率。分析：每每人有NN个房间间可供选选择，所所以n个个人住的的方式有有种，题题中的nn个房间间可以在在N个房房间中任任意选取取，其总总数有种种，对选选定的nn个房间间，按上上述的分分析可知知有n！种分配配方式，所以恰恰有n个个房间入入住1人人的概率率为。注：这是是一个古古典概型型中的一一个很典典型的“分房问问题”，事实实上不少少实际问问题多可可以归结结为它的的模型。例如，若把人人解释为为质点，把房间间解释为为相应空空间中的的小区域域，这个个问题就就是统计计物理学学中的MMaxwwelll-Booltzzmannn质点点运
5、动问问题。横向推广广1：设设有m个个不同的的质点，每个质质点以等等可能落落与M（M m）个个空间小小区域（每个小小区域能能容纳的的质点数数是没有有限制的的），求求某预先先指定的的m个空空间小区区域各含含一个质质点的概概率。 分析：由推广广到一般般情况11 的结结论得：。横向推广广2：设有rr个人，r 3655，并设设每人的的生日在在一年3365天天中的每每一天的的可能性性是均等等的，问问此r个个人有不不同生日日的概率率是多少少？（武武汉理工工大学220011年硕士士研究生生入学考考试试题题）分析：若若把人解解释为每每人的生生日，把把房间解解释为一一年3665天中中的每一一天，由由推广到到一般情
6、情况2 的结论论得： 进一步引引申：有r个个人，（r 3365），问至至少有两两个人的的生日在在同一天天的概率率为多大大？分析：这这个例子子是概率率论历史史上有名名的“生日问问题”。如果果直接求求P（AA）比较较麻烦，我们利利用对立立事件就就转化为为横向推推广2所所得的结结论：A=r个个人中至至少有两两个人的的生日相相同=r个人人中的生生日全不不相同P（A）=1P（）=1应用：在在新教材材第二册册（下AA）第1120页页习题110.55（6）一年按按3655天计算算，两名名学生的的生日相相同的概概率是多多少？ 分析析：令rr=2，利用引引申的结结论：P（A）=1P（）=1=1=。 注：当然这这
7、道例题题本身并并不需要要这么麻麻烦，而而且方法法较多。但对于于不同的的一些rr值，计计算得相相应的PP（A）值如下下表：r102023304050P0.1220.4110.5110.7110.8990.977上表所列列的答案案是足以以引起多多数读者者惊奇的的，因为为“一个班班级中至至少有两两人的生生日相同同”这件事事情发生生的概率率，并不不如大多多数人直直觉中想想象的那那么小，而且相相当大。由表可可以看出出，当班班级中的的人数为为23时时，就有有半数以以上的班班级会发发生这件件事情，而当班班级的人人数达到到50时时，竟有有97%的班级级会发生生上述的的事情。这个例例子告诉诉我们，“直觉”并不可可靠，这这就有力力的说明明了研究究随机现现象统计计规律的的重要性性。参考文献献：魏宗舒 概率论论与数理理统计教教程 高高等教育育出版社社
