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1、伪随机序列的主要性质研究王磊学号：摘要：伪随机序列在保密通信、航空航天、测距、密码学、自动控制等领域具有重要作用。扩频通信系统的频谱扩展是借助扩频函数而实现的。典型的扩频函数就是伪随机序列，实用的伪随机序列必须是具有随机性，有尖锐的自相关特性，有较小的互相关值，有较多的序列数；同时还要求序列平衡，易于实现等特点。本文介绍了应用比较广泛的m序列、gold序列和M序列,研究了伪随机序列的共有性质及其各自序列的特性。关键词：伪随机序列，m序列，M序列，Gold序列Studies of the major properties of Pseudo-random sequenceWang LeiAbst
2、ract: PseudoRandom Sequences play an important role in many fields such as secret communication, aviation, auto-control and cryptography. The spread spectrum of communication system is achieved through spread spectrum functions. A typical spread spectrum function is pseudo-random sequence, useful ps
3、eudo-random sequence must be random, with sharp autocorrelation, cross-correlation values are smaller, have more serial numbers; also called sequence of balance, easy-to- and implement. This article describes m sequence, gold series and M series, which are broader applied and studies the nature of p
4、seudo-random sequences and their respective sequences shared characteristics.Keywords: Pseudo-random sequence, m sequence, gold series, M series.1 伪随机序列的概念在现代科学中，白噪声由于其瞬时值服从正态分布、功率谱在很宽频带内都是均匀的等特性而被很多系统所青睐。根据香农的理论，在高斯白噪声干扰情况下，在平均功率受限的信道上，实现有效和可靠通信的最佳信号是具有白噪声统计特性的信号。这是因为白噪声信号的自相关函数具有冲击函数的特点，即具有尖锐的自相关特
5、性。白噪声是一种服从正态分布，功率谱均匀的随机过程。其随机性意味着：无周期，无法复制与预测。无周期则无法存储，不可重复则无法验证，不可预测使得其在实际工程应用中无法被利用。为了能达到工作的要求，需要引入具有逼近白噪声统计特性的人工信号序列，这就是伪随机序列产生的根源。因此在工程实践中，只能用类似带限白噪声统计特性的伪随机码信号来逼近。伪随机码(pseudo random code)简称PN码，可以人为产生与复制，具有类似白噪声的性质。伪随机序列是一种确定但“随机”产生的序列1。即伪随机序列是具有随机特性的确定序列，是针对AWGN演化而来的，它采用只有“0”和“1”两种电平的编码结构，拥有极好的
6、相关性，具有很强的抗干扰能力2，序列的均衡性很好实现较容易。因此，伪随机序列应用十分广泛，如在直扩系统中用于扩展传递的信号，在调频系统中用来控制调频系统的频率合成器。2 伪随机序列的特点2.1 随机序列随机序列具有以下4个基本特性：序列中高低电平出现的次数大致相等；序列具有良好的相关特性；序列中连续出现的高电平或低电平被称为游程，而长度为n(n为自然数)的游程出现的次数占总游程数的12 ；随意将一个序列位移得到的新序列与原序列比较，只有一半的元素相同。2.2 伪随机序列伪随机序列也应具有以上4个特性伪随机序列是人为构成的数字序列，因此它是离散的，只包含高低2种电平，不可能具有真正的正态分布特性
7、但如果序列的长度逼近无限大时，由中心极限定理可知，它趋于正态分布。周期为T的伪随机二进制序列应满足Golomb提出的三条随机性公设3 ： 若T为奇数，则序列bi 一个周期内0的个数和1的个数相差1；若T为偶数，则0的个数和1的个数相等。 长度为T的周期内，1游程的个数占游程总数的12，2游程的个数占游程总数的122， ，d游程的个数占游程总数的12d，而任意长度的0的游程个数与1的游程个数相同。 序列的异相自相关函数R(j)是一个常数。公设和的意义很明确，主要用于衡量序列的平衡性和随机性，而公设 意味着对序列与其平移后的序列作比较，不能获取其它任何信息。3 伪随机序列的分类及其特性3.1 伪随
8、机序列的分类现代科学中常用的伪随机序列有m序列、Gold序列、M序列、Walsh序列以及R-s序列等。最常用的伪随机序列之一是m序列4，m序列是一种重要的伪随机序列，由于其容易产生、规律性强，而且具有许多优良的性能，因此是最早得到广泛应用的，同时如Gold序列等很多伪随机序列都是由m序列衍生而来的。3.2 m序列及其特性分析m序列是由n级线性移位寄存器产生的周期为2n-1的码序列，是最长线性移位寄存器序列的简称，其结构框图如图所示。m序列的理论已经很成熟，n级移位寄存器可以产生的m序列个数由下式决定：其中，(x)为欧拉函数，其值小于等于x，并与x互质的正整数的个数(包括1在内)。m序列的性质：
9、(1)平衡性：在m序列的一个周期中，“1” 的个数比“0”的个数只多一个。这表明，序列平均值很小，它可降低载漏发射功率，防止载漏干扰。(2)尖锐的自相关特性：易于同步捕捉。周期序列的互相关函数的定义为：式中p为序列的周期。若两个函数相等，称自相关函数，记作R(j)。对于取值是+1和一1，周期为p的二进制码元序列自相关函数为：m序列是一双值自相关序列，有优良的自相关特性。但是，在码分多址通信中，不同地址的扩频码互相关值要小，以便互不干扰，使用m序列作为地址码时，组成互相关值小的序列集很少。3.2 Gold序列及其特性分析Gold序列是为了解决m序列个数不多且m序列之间的互相关函数值不理想而提出的
10、，它是用一对周期和速率均相同的m序列优选对模2加后得到的。其发生器结构框图如图所示：Gold序列具有良好的自、互相关特性，且地址数远远大于m序列地址数。所谓m序列优选对是指：设a是对应于n级本原多项式f(x)所产生的m序列，b是对应于n级本原多项式g(x)所产生的m序列，当它们的互相关函数值|Ra，b(k)|满足，则m序列a和b构成一对优选对。Gold码是由两个码长相等，码时钟速率相同的m序列优选对模2加构成。每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列，当相对位移(2n-1)位时，就可得到一族(2n-1)个Gold序列。再加上两个m序列，共有(2n-1)Gold序列码。Gold序列的
11、性质：(1)平衡性：Gold码可分为平衡码和非平衡码，平衡码约占总码的一半。(2)较好的自相关特性：Gold码的自相关函数为三值函数(u1，u2，u3)。其值为：，。(3)较好的互相关特性：Gold码互相关值不超过优选对互相关值，具有三值互相关函数(vl，v2，v3)，其值为，。验算 下可知，这些互相关值，都大大低于自相关值，且约有50%75%以上的Gold码序列有最低的互相关函数值。3.2 M序列及其特性分析M序列是最长的非线性移位寄存器序列，它由非线性移位寄存器产生的码长为2n的周期序列，可由m序列在适当位置插入全零状态实现。由计算可知M序列的周期是m序列周期的两倍，M序列的数量比m序列的
12、数量大许多倍5。因此用M序列对信息加密提供了丰富的资源，增强了信息的隐藏能力。M序列的性质：(1)周期性：一个n级线性移位寄存器可能产生的最长周期为p=2n-1。在n级线性移位寄存器中，每级只能有两种状态：0或1。故n级线性移位寄存器最多可能有2n种不同状态，由于全为“0”状态，后续状态也全为“0”，所以在线性反馈情况下，最大周期为p=2n-1。(2)均衡性：M序列每一周期中l的个数比0的个数多1个。在二进制中奇数的末位必为“l”，偶数的末位必为“0”，由于p=2n-1为奇数，因而在每个周期中1的个数为(p+1)2=2n-1 为偶数，而0的个数为(p-1)2 =2n-1-1为奇数。(3) 随机
13、性：一个序列中取值(1或0)相同连在一起的元素合称为一个游程。一个游程中元素的个数称为游程长度。M序列的一个周期(p=2n -1)中，游程总数为2n-1。其中长度为l的游程个数占游程总数的12；长度为2的游程个数占游程总数的14；长度为3的游程个数占游程总数的18；长度为k的游程个数占游程总数的12k，其中1 k (n-2)。而且在长度为k的游程中，连1游程与连0游程各占一半，长为(n- 1)的游程是连0游程，长为n的游程是连l游程。(4) 移位相加特性一个M序列Mp和其经任意次延迟移位产生的另一个序列Mr模2相加，所得的仍是Mp的某次延迟移位序列Ms。4 结语作为产生随机数值的工具而引入的伪
14、随机序列，其应当具备良好的随机性和平衡性，m序列是最早广泛应用于实践中的伪随机序列。m序列产生简单，随机性和相关特性都很好。但由于m序列族的规模相对较小，不能独立地满足大规模系统的要求，因此大量以m序列为基础构造的伪随机序列族产生了，比如Gold序列、M序列等。由于像m序列、M序列和Gold序列这样的优秀伪随机序列的出现，需要近似随机数值的科研领域，例如环境仿真、扩频通信等领域得到了极大的发展。相信在不久的将来，还会有更多更完美的伪随机序列产生，为科学实践做出更多的贡献。参考文献：1景占荣信号检测与估计M北京：化学工业出版社，20042陈海龙随机信号处理M北京：清华大学出版社，20033肖国镇伪随机序列及其应用M北京：国防工业出版社4陈海龙，李宏基于Matlab的伪随机序列的产生与分析J计算机仿真，2005(5)：981005刘志军基于M序列与Word文档的信息隐藏算法J通信技术：2009(07):113-115
