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1、第一章 多项式1 数域一 填空题1加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法.二 判断题 1. ( T)； 2. ( F)三、解答题1证明显然. 对任意的, =+; . 当时, .故对加法减法乘法除法封闭.即是数域.2证明 因为, .即对乘法不封闭.所以不是数域.3证明 由于任意数域都包含有理数, 故也包含有理数域, 从而包含有理数域.令, 则, .由于是数域,故,;当时, 所以.即是数域.例如: 取=, , 容易验证不一定是数域; 取=,显然=是数域.2 一元多项式一 填空题1， ， ；2.（i），（iii）（v） ；3. 0，非零常数 ； 4.二 判断题 1(F)； 2.
2、 (F).; 3.(F).三 解答题1解 因为.利用多项式相等的定义的: (i)(ii) (iii) 即(i)当时, 为零次多项式; (ii)当时为零多项式;(iii)时是一次多项式.2证明 设，则的第次项系数为=0,当得,当时得,进而,同样地,得到.因此3 整除的概念一 填空题1 ， ， ， ， ， ，； 2. ，.二 判断题 1.(F)； 2. (T)； 3. (F); 4.(F); 5.(F) 三 解答题1解 利用带余除法得，所以，即.2证明 , 利用整除性的性质，我们有，即.3证明 若, 不整除与则存在常数,使, 所以, 由于, 所以,得出矛盾.即不能整除证明 由于三次单位根都是的根，
3、即的根都是的根.从而.4. 证明 因为其中是三次单位虚根, 而,即,再利用互素得到,即 5证明 如果,因为 , 由整除性性质得: ,即,与矛盾, 所以.4 最大公因式一、 填空题1 零次多项式；2. 零多项式;3.多项式为零次多项式;4.,为零次多项式; 5.;6.互素.二、判断题1 F；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.二、 解答题1.解:通过辗转相除法求得,.2.证明:设,容易证明是的公因式;对的任意公因式,容易证明它是的公因式,从而它整除于的最大公因式.即的任意公因式整除于它的公因式,所以是的最大公因式.3.证明:,则存在与,使,以上两式相乘容易得到,故.反过来若，则存在，使，若令
4、，则有，故，同样的若令，则有，故.4.证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若，同样的利用归纳法证明.5因式分解定理一、 填空题 1.; 2.不整除于； 3. 不可约, 不可约,可约; 4.; 5. 1.二、 判断题 1.T; 2.F; 3.F .三、 解答题1.解 在有理数为不可约多项式, 因此在有理数的分解式为其本身. 在实数域: 在复数域上: .2. 证明:若不可约, 由,则或.若成立, 又(+),所以,则成立;同样地若成立利用(+)得到成立.总之有与同时成立.若可约,上述结论不成立.事实上取则且(+),但即不整除也不整除.3. 是不可约多项式. 证明如下:若可约,则存在,使,利用题设可以
5、得出(,)=1或者,而事实上,这两种结果都不能成立.因此可约的假设不正确.4.证明:必要性.设(为不可约多项式),显然对任意的,若,则,若,则,即存在正整数,使.充分性: 设,取,则(,)=1不成立, 且对任意正整数,不成立.故不成立.即是不可约多项式的方幂.6 重因式一、 填空题 1., 与, 4与3; 2.; 3.; 4.; 5.二、 判断题 1.F; 2.T; 3.F.三、 解答题1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出,所以=无重因式.(2)同(1).2. 解：容易计算，所以是的二重因式，又，故=.3. 证明: ,.故无重因式.4.解: 显然当时，有三重因式，当时无重因式；当时，当时，
6、有二重因式.7 多项式函数一、 填空题1零多项式；2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. ; 4. 是的根;二、判断题1F；2.F; 3.F; 4.T.三、解答题1解 利用拉格朗日插枝公式 2.证明： ，所以=1.所以无重根.8 复数域与实数域上多项式的因式分解一、 填空题 1一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.；3.2，；4.，.二、解答题1解：在复数域上,在实数域上.2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.2 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若在实数数域上不能整除于，则无论在实数数域
7、还是复数域均有而事实上在复数域上不成立.因此在实数域上整除于.9 有理数域上多项式 一、 填空题11，1或2，任意正整数；2.可能可约也可能不可约；3.二、判断题1T；2.F（若是非零多项式正确）；3.T.三、解答题1解：；2解：，取，利用Eisenstien判别法即得不可约；，令，则，取，利用Eisenstien判别法即得不可约，从而不可约；，令，则，取利用Eisenstien判别法即得不可约，从而不可约.3. 解：的所有可能根是：，因为的各项系数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证都不是根.2 证明：因为无有理根，而是的根，因此它不是有理数，从而
8、是无理数.10 多元多项式一、 填空题1.4，5，,无同类项；2.=+-+，=+（+）-+，=+-+. 3.， ，-2，1.二、 解答题1 解：数域上三元三次多项式的一般形式是：.2 解：两个元多项式首项的和不一定是首项 ：例如的首项分别是，显然不是的首项.3 证明是简单的从略4 例如：显然对任意的，中中必包含单项式，因此都不成立.11 对称多项式一、填空题1，.2.,，；3. .二、解答题解：（1） 因为 ，它的首项是对应的有序数组是（2，1，0），因此作多项式.所以.（2）由于，其首项是，当，令，所以，.当时，根据首相为，则可设，令代入即得.2证明：设为关于的任意对称多形式，则由基本定律
9、知，其中关于的全部初等对称多项式.显然，再由根与系数的关系 得出上式中的是关于的多项式.第一章 测试题解答一、 填空题1零次， 零 ； 2. 二 ， 四 ； 3. ； 4. ；5.二、选择题1(B), ； 2. （A）,(D) ； 3. (A),(B),(C) . 一、 解答题i. 证明 因为,则,所以,从而,进而.ii. 解：利用辗转相除得到下列等式：所以，取，则有3 解：利用有理根的求法容易得到的有理根为：-2,4解 1. 证明 是的根,因此(),解之得.6解：显然当时，有三重因式，当时无重因式；当时，当时，有二重因式.7 解 (i)利用艾森施坦因判别法取即可得出不可约.(ii)令，由于，我们得到令于是.显然的最高次项不能被整除.其余的系数都是二项式系数，他们都能被整除.事实上，当时，因为它是个整数，所以右端的分子能被整除，但与互素，所以因此，但的常数项不能被整除.由Eisenstein判别法，在有理数域上不可约.如果存在，那么这与在有理数域上不可约矛盾，所以在上不可约.8证明：由于为首项系数是1的多项式，故若有有理根，则一定是整数，且为常数项的因数，由于系数为奇数，故为奇数.而为奇数个奇数的和，必不是0，这于是根矛盾.
