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1、 温州市普通高中2024届高三第三次适应性考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持
2、答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在中，三个内角成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由条件可知，结合求得，从而代入得解.【详解】因为成等差数列，所以；又，所以，即，所以，所以.故选：C.2. 平面向量，若，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】，由于，所以，解得，故选：A3. 设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（ ）A. 充分不必要条件B
3、. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的.【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的；若试验基本事件含3种及以上，其中表示概率为的两个不同事件，则不互为对立事件，此时，故条件不是充分的.故选：B.4. 已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（ ）A. B. C. D. 的大小关系与有关【答案】A【解析】【分析】根据二项式系数的性质知，再用组合数的定义验证.【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项.即，所
4、以，从而.故选：A.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由两角和正弦和已知条件解得，进而得，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.【详解】因为，故由两角和正弦公式得，故两边平方得，即，故.故选：B.6. 已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、三种情况，结合图象求解即可【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；当时，直线与函数的
5、图象没有交点；当时，直线与函数的图象有三个交点；所以直线与函数的图象不可能有两个交点故选：C7. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.【详解】由可知，设，则，,则由余弦定理可得化简可得，故，（舍去），又,所以，化简可得，故，故选：D8. 数列的前项和为，则可以是（ ）A. 18B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】易通过，可得，也可求得，但此数列存在不确定的首项，所以在求和后发现结果为，与选项中的四个数进行对比分析，发现一定不能为负整数，所以只能选C.【详解】由
6、可得：且，由上式又有：， 还有，两式相减得：，两边同时除以得：，由上式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1，所以，由此数列的奇数项公式为，又由，所以可以判断一定不能为负整数，即只能有，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知空间两条异面直线所成的角等于60，过点与所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（ ）A. 30B. 45C. 75D. 90【答案】AD【解析】【分析】过点作，求得直线与所成角的范围为或，结合选项，即可求解.【详解】过点作，从两对角
7、的角平分线开始，直线与所成角的范围为或，而均为的直线有且仅有一条，根据对称性，可得或.故选：AD.10. 已知是关于的方程的两个根，其中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据虚根成对原理得到，即可判断A，再根据复数代数形式的乘法运算判断B，利用韦达定理判断C、D.【详解】因为是关于的方程的两个根且，所以，即，故A正确；，所以，故B错误；因为，所以，故C正确；又，故D正确.故选：ACD11. 已知函数的值域是，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则不存在最大值B. 若，则的最小值是C. 若，则的最小值是D. 若，则的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】由已知结合正弦
8、函数的最值取得条件，周期性及单调性检验各选项即可判断.【详解】当时，当足够大时， 包含完整周期，故A正确；为使更小， 只包含一个最大、最小值点，所以，解得，所以时，验证成立，故B正确；C项：若，当取最小值时，周期最大，且，故，故，故C正确；D项：若，取最小值时，周期最大，当，此时， D错误故选：ABC非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12. 设随机变量服从正态分布，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.【详解】因为且，所以，解得.故答案为：13. 定义在上的函数满足：，则_.【答案】#0.5【解析】【分析】
9、依次赋值，得；赋值，得；最后赋值即可求解.【详解】由题赋值，得，所以由，得；赋值，得，所以；赋值，得.故答案为：.14. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥体积最大时，_.【答案】#【解析】【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三棱锥的体积公式求解【详解】由于直线过焦点，且与抛物线交于两个不同的点，故设其方程为，联立方程，消去得，所以，所以，当，即时，三棱锥体积最大故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.
10、（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由已知条件证明出，即可得证平面.（2）先求平面与平面的法向量和，再由，结合二面角夹角范围和图形即可求解.【小问1详解】如图，取中点，连接，则由题意且，故四边形是平行四边形，所以且，故且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意，又，所以，即，所以，设平面一个法向量为，则，所以，取，则，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的大小为.16.
11、设函数的导函数为.（1）求函数的单调区间和极值；（2）证明：函数存在唯一的极大值点，且.（参考数据：）【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值，无极小值. （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数单调区间和极值；（2）利用导数求函数的极大值点，由单调性证明.【小问1详解】函数，定义域为，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，故极大值为，无极小值.【小问2详解】由（1）可知，且，所以根据零点定理，使，使，即时，为减函数；时，为增函数，所以存在唯一极大值点，即，又因为，所以，即，得证!17. 已知直线与双曲线相切于点.（1）试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在
12、，并求出相应的的值；（2）过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.【答案】（1）当时，；当时，；当时，. （2）【解析】【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由求得与的函数关系，再由的值求出相应的的值；（2）设，利用导数求直线的斜率，得直线的斜率和方程，求出两点的坐标，表示出分点的坐标，由在双曲线上，得点的轨迹方程.【小问1详解】由，消去得，由，得，当时，不存在；当时，；当时，；当时，.【小问2详解】设，则， 对C求导可得，则，有，所以，令，得，所以；令，得，所以， 所以，即，则，所以，得，即P的轨迹方程是18. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混
13、合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.（1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率；（2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.（）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）（）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）【答案】（1） （2）（），；（）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）（）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求
14、和公式计算可得；（）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（）的中的结果得到方程组，解得即可.【小问1详解】依题意可得抽到的个数字互不相同的概率；小问2详解】（）依题意的可能取值为，且（且），所以，依题意的可能取值为，且（且），所以；（）依题意样本数据，为期望（平均数）为，则，为期望（平均数）为，所以，消去得，整理得，解得（负值已舍去），又，所以.19. 对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：且，使得，比如：当时，.（1）当时，写出集合；（2）有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示.（）已知，试比较大小关系；（）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的.【答案】（1） （2）（i）；（ii）答案见解析【解析】【分析】（1）由自然数
