《湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高二下学期期末考试数学试卷本试卷分选择题和解答题两部分满分150分，考试时间120分钟注意：所有试题均须在答题卡上作答一、单选题（本大题共8小题，共40分，在年小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 如图，空间四边形中，点为的中点，点在线段上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果.【详解】解：由已知，故选：D.【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.2. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由题求出圆心和半径，再根据几何关系即求.【详解
2、】由题知圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，圆截直线所得弦的长度为4，解得.故选：C.3. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为，由题意得，解得，这个二面角的度数为，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆得，再
3、根据焦距为得，解方程即可得的值【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，又椭圆的焦距为，解得：，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，属于基础题5. 若数列是等差数列，a1=1，则a5=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令、 可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.【详解】令得，令得，所以数列的公差为，所以，解得，故选：B.6. 已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【
4、详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，半径为，所以的最小值为.故选：C7. 已知 ，若 ，则 （ ）A. B. 2C. D. e【答案】B【解析】【分析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B8. 设数列的前项的和为，已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将原式两边同时取倒数，运用叠加法求出，根据题意即可选出答案.【详解】由题意可知，因为，所以，即.令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，上式相加，得，即，所以，因为，所以，所以，即.故选：C二、多选题（本大题共4小题
5、，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知点、，直线l经过点且与线段相交，则直线l与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相离C. 相切D. 不好确定【答案】BC【解析】【分析】根据两点斜率公式求解的斜率，进而求得的方程，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由题意可知： 直线l经过点且与线段相交,则直线l的斜率的范围为，直线的方程为，即，由圆的方程得圆心为 半径为，圆心到直线的距离为，故直线l与圆相切或者相离,故选：BC10. 已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）A. 双曲线C的离心
6、率为2B. 当P在双曲线左支时，的最大值为C. 点P到两渐近线距离之积为定值D. 双曲线C的渐近线方程为【答案】AC【解析】【分析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.【详解】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；对于B，当P在双曲线的左支上时，故，当且仅当时，即时等号成立，故最大值为，故B错误；对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近
7、线的距离之积为为定值，故C正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.11. 已知函数，则（ ）A. 在上单调递增B. 是的极大值点C. 有三个零点D. 在上最大值是【答案】BCD【解析】【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可【详解】解：因所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，
8、在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确故选：12. 等比数列中，公比，则下列结论正确的是（ ）A. 数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列B. 设数列的前项和为，对，恒成立C. 数列是递增数列D. 数列是首项和公差都小于0的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由，可判断A；当，时，可判断B；由，公比，可判断C；与1无法比较大小，可判断D【详解】由可知A对；由，公比，可知，当，时，恒成立，故B对；由，公比，可知数列是递增数列，故C对；与1无法比较大小，数列是首项无法和0比较，故D错故选：ABC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知空间向量，若，
9、则_【答案】【解析】【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以存在实数k，使得，即，所以解得，.故答案为：14. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，则_.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得：，故答案为：15. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则_【答案】#【解析】【分析】先求得曲线在点处的切线，直线与曲线相切时，需设切点列方程组可解得参数a的值.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程为设与相切于点，因为，所以，则，可得，从而故答案为：16. 在长方体中，点为底面上一点，则的最小值为_【答
10、案】-2【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，求最小值.【详解】以D为原点，DA 为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，点为底面上一点，设，有，当时，的最小值为-2.故答案为：-2四、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步）17. 直线l经过两点(2,1)、(6,3).(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程【答案】（1）x2y0；（2）(x2)2(y1)21【解析】【详解】试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方程；（2
11、）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为 （2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以， 所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为考点：1直线方程；2圆的方程18. 已知直线和直线.（1）当m为何值时，直线和平行？（2）当m为何值时，直线和重合？【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.【小问1详解】由题意，得，解得或当或时，直线和平行.【小问2详解】由题意，得，解得，当时，直线和
12、重合.19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系.则，.可得，.所以，所以 （2）由（1）得到，因此可得，.设平面的一个法向量为，则由得令，解得.同理，可求平面PDC的
13、一个法向量.所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.20. 已知等差数列的公差，且，数列是首项为的等比数列，且满足，成等差数列（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求证：数列的前n项和【答案】（1）， （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，且，可求得，从而可求出的通项公式，再由等比数列中，成等差数列列方程求出公比，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出，从而可证得结论【小问1详解】因为，所以，解得所以因为等比数列，且，成等差数列所以设公比为q，则，所以，所以，所以，【小问2详解】证明：由（1）得，所以，-得：，所以21. 已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知设椭圆的焦距，当时，由题意得，的面积为，解得即可；（2）设 ，分类讨论：当时，利用椭圆的对称性即可得出；时，直线的方程与椭圆的方程联立得到及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出【详解】(1)由题意可得 ,则,则，的面积， 椭圆的长轴长是短轴长的倍，
